西安中学 2023-2024 学年度第二学期期末考试
高二数学试题
（时间：120 分钟 满分：100 分）
一、选择题(本题共 8小题，每小题 3.5分，共 28分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.曲线 f (x) 3x 2 e x在 0, 1 处的切线方程为（ ）
A． x y 1 0 B． x y 1 0 C． x y 1 0 D． x y 1 0
2.若随机变量 ~ N (3,9) ， P(1 3) 0.35，则 P( 5) ( )
A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7
3.随机变量 X的分布列如下：
X 2 1 2
1
P a b
2
若 E (X ) 1，则 D(X ) ( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
4
4 1 .若 3 x 的二项展开式中常数项为( )
x
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等 6名网红主播
在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊 4个景点中选择一个打卡游玩，
若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单
独 1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种
6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校 1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国
防知识竞赛，从中随机抽取 200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图 1
所示，则下列说法正确的是（ ）
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图 1
①频率分布直方图中 a的值为 0.005 ②估计这 200名学生竞赛成绩的第 60百分位数为 80
③估计这 200名学生竞赛成绩的众数为 78④估计总体中成绩落在 60,70 内的学生人数为 150
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
7.质数 (prime number) 又称素数，一个大于 1的自然数，除了 1和它本身外，不能被其他自然
数整除，则这个数为质数，数学上把相差为 2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过 30的自然
数中，随机选取两个不同的数，记事件 A “这两个数都是素数”；事件 B “这两个数不是孪生
素数”，则 P B | A ( )
11 37 43 41
A. B. C. D.
15 45 45 45
8.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如
图2所示，去除所有为1的项，依此构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5, ，则此数列的前45项的
和为（ ）
图 2
A.2026 B.2025 C.2024 D.2023
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二、选择题(本题共 3小题，每小题 4分，共 12分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 4分，有选错的得 0分，部分选对得 2分.)
9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的 30%， 70%，各自产
品中的次品率分别为 6%，5%.记“任取一个零件为第 i台车床加工 (i 1, 2) ”为事件 Ai ，“任取
一个零件是次品”为事件 B，则( )
A. P(B) 0.053 B. P(B | A1) 0.05 C. P(A2B) 0.035 P(A
35
D. 2 | B) 53
10.2024年 6月 18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对 5个商场某商品同一天
的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 x元和销售量 y件之间的一组数据如下表所示：
x 90 95 100 105 110
y 11 10 8 6 5
用最小二乘法求得 y关于 x的经验回归直线是 y 0.32x a ，相关系数 r 0.9923，则下列说
法正确的有( )
A. 变量 x与 y负相关且相关性较强 B. a 40
C. 当 x 85时，y的估计值为 13 D. 相应于点 (105,6)的残差为 0.4
11. 2关于函数 f (x) ln x ，下列判断正确的是（ ）．
x
A. x 2是 f (x)的极小值点
B. 函数 y f (x) x有且只有 1个零点
C. 存在正实数 ，使得 f (x) kx恒成立
D. 对任意两个正实数 x1, x2 ，且 x1 x2 ，若 f (x1) f (x2 )，则 x1 x2 4
三、填空题(本题共 3小题，每小题 4分，共 12分．把答案填在答题卡上的相应位
置.)
12.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、
土． 现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是__________种.
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13.若函数 f (x) x2 x a ln x在 (1, )上单调递增，则实数 a的取值范围为__________.
14.已知二项式 (1 2 x )n的二项式系数和为 32.给出下列四个结论：
① n 5 ②展开式中只有第三项的二项式系数最大
③展开式各项系数之和是 243 ④展开式中的有理项有 3项
其中，所有正确结论的序号是__________.
四、解答题(本题共 5小题，共 48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分 8分）当前，以 ChatGPT为代表的 AIGC(利用 AI技术内容的生产方
式 )领域一系列创新技术有了革命性突破.全球各大科技企业都在积极拥抱 AIGC，我国的 BAT (
百度、阿里、腾讯 3个企业的简称 )、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷
纷加码布局 AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国 AIGC发展研究报告》，先期准备
从上面 7个科技企业中随机选取 3个进行采访.记选取的 3个科技企业中 BAT中的个数为 X，求
X的分布列与期望.
16.（本小题满分 8分）下表是某单位在 2024年1~ 5月份用水量 (单位：百吨 )的一组数据：
月份 x 1 2 3 4 5
用水量 y 2.5 3 4 4.5 5.2
(1)从这 5个月中任取 2个月的用水量，求所取 2个月的用水量之和不超过 7(单位：百吨 )的概
率；
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过 0.05，视为“预测可靠”，那么
由该单位前 4个月的数据所得到的经验回归方程预测 5月份的用水量是否可靠 说明理由．
参考公式：对于一组数据 x1, y1 ， x2 , y2 ， ， x n , yn ，其回归直线 y bx a 的斜率和截
n n
xi x yi y xi yi nxy
b i 1 i 1距的最小二乘估计公式分别为： n n ， a y b x.
xi x 2 x 2i nx 2
i 1 i 1
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17.（本小题满分 10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网
4
站从参与调查者中随机选出 200人，数据显示关注此问题的约占 ，并将这 200人按年龄分组，
5
第 1组 15,25 ,第 2组 25,35 ,第 3组 35,45 ,第 4组 45,55 ,第 5组 55,65 ，得到的频率分布
直方图如图 3 所示．
图 3
(1)估计参与调查者的平均年龄；
(2)把年龄在第 1，2，3组的居民称为青少年组， 年龄在第 4，5组的居民称为中老年组，若选
出的这 200人中不关注民生问题的中老年人有 10人，得到如下 2 2列联表。请将列联表补充
完整填入答题卡，并回答：依据小概率值 0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与
年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取 4名青少年，记这 4人中“不关注民生问题”
的人数为 Y，求随机变量Y 2时的概率和随机变量 Y的数学期望 E(Y ).
2
2 n(ad bc)
附： ,n a b c d. a b c d a c b d
0.050 0.010 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
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18.（本小题满分 10分）已知函数 f (x) x2 a ln x(a R).
(1)若 a 2，求 f (x)的极值;
(2)若函数 g(x) f (x) (1 2a)x 恰有两个零点，求 a的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号
2
登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次
7
1
摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的
2
1
概率为 .记该顾客第 n次摸球抽中奖品的概率为Pn .3
（1）求P2、P3的值；
（2）探究数列 Pn 的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过
程.
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高二数学答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A A B C C B D A ACD ABD ABD
填空题
12.48 13． 1, 14． ①③④.
解答题
15.解：易知 X的所有可能取值为 0，1，2，3，
C 3 4 C1C 2 18 C 2C14
此 时 P(X 0) 3 ， P(X 1)
3 4
3 ， P(X 2)
3 4 12 ，
C7 35 C7 35 C
3
7 35
C 3
P(X 3) 1 3 ，
C 3 35 ----------4分7
则 X的分布列为：
X 0 1 2 3
4 18 12 1
P
35 35 35 35
---------6分
E(X ) 4 18 12 1 9此时 0 1 2 3 . ----------8分
35 35 35 35 7
16.解： (1)从这 5个月中任取 2个月，包含的可能的情况有 C25 10 个，
其中所取 2个月的用水量之和不超过 7(百吨 )的可能情况有以下 4个：
2.5,3 ， 2.5,4 ， 2.5,4.5 ， 3,4 ，
4 2
故所求概率 P . --------------4 分
10 5
(2)由该单位前 4个月的数据所得到的经验回归方程，
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x 1 2 3 4 2.5 y 2.5 3 4 4.5则由数据得 ， 3.5
4 4
4
xi yi 4xy
i 1 2.5 6 12 18 35
由公式计算得 b 4 0.7
x2 4x 2 1 4 9 16 25i
i 1
a y b x 1.75 ，所以 y关于 x的经验回归方程为 y 0.7x 1.75 ，
当 x 5 时，得估计值 y 0.7 5 1.75 5.25 ，而 5.2 5.25 0.05 0.05
所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的． ----------8分
17.解： x 0.01 10 20 0.015 10 30 0.035 10 40 0.03 10 50 0.010 10 60
41.5，
估计参与调查者的平均年龄为： 41.5岁. ----------3分
(2)选出的 200人中，各组的人数分别为：
第 1组： 200 0.010 10 20人，第 2组： 200 0.015 10 30人，
第 3组： 200 0.035 10 70人，第 4组： 200 0.030 10 60人，
第 5组： 200 0.010 10 20人，
青少年组有 20 30 70 120人，中老年组有 200 120 80人，
参与调查者中关注此问题的约占80%， 有 200 (1 80%) 40 人不关心民生问题，
选出的 200人中不关注民生问题的青少年有 30人，
2 2列联表如下：
----------5分
零假设 H0:假设关注民生问题与性别相互独立，
2 200(90 10 70 30)
2
4.6875 3.841，
160 40 80 120
根据独立性检验，可以认为零假设H0 不成立， ----------7分
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即能依据小概率值 0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关.
(3) 30 1由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为 ，将频率视为概率，每个青少
120 4
1
年“不关注民生间题”的概率为 ，
4
1
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以 Y∽ B(4, )，
4
P(Y k) C k4 (
1) k (1 1 ) 4 k， k 0，1，2，3，4
4 4
所以 P(Y 2) C 24 (
1) 2 (1 1 )4 2 27 ，
4 4 128
E(Y ) 4 1 1. ----------10分
4
18.解： (1) f (x) 的定义域为 (0, )，
2
当 a 2时， f (x) x2 2ln x， f (x) 2x ，令 f (x) 0，得 x 1，
x
当 x (0,1) 时， f (x) 0;当 x (1, )时， f (x) 0 ，
所以 f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
所以 x 1是 f (x)的极小值点，
又 f (1) 1 2ln1 1，故 f (x)的极小值为 1，无极大值； ----------4分
(2)由 g(x) f (x) (1 2a)x x2 a ln x (1 2a)x得，
g (x) 2x a (1 2a) (2x 1)(x a) ，
x x
当 a 0时， g (x) 0，所以 g(x)在 (0, )上单调递增，
则 g(x)最多有一个零点，不合题意; ----------6分
当 a 0时，当 x (0,a)时， g (x) 0，当 x (a, )时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (0,a)上单调递减，在 (a, )上单调递增，
x 0, g (x) ， x , g (x)
所以： g(x)的极小值为 g(a) a2 a lna (1 2a)a a a lna a2 a(1 lna a) 0， ---8 分
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令 u(a) 1 ln a a， a 0，则 u(a) 1 ln a a 0
u (a) 1 1 0，所以 u(a)在 (0, )上单调递减，
a
又 u(1) 1 ln1 1 0，
当 0 a 1时， u(a) 0，所以 g(x)最多有一个零点，不合题意;
当 a 1时， u(a) 0 ，
所以当 a 1时，函数 g(x)恰有两个零点， ----------10分
综上，a的取值范围是 (1, ).
19.（1）记该顾客第 i i N* 2次摸球抽中奖品为事件 A，依题意， P1 ，7
P2 P A2 P A1 P A2 | A1 P A1 P A | A 2 1 1 2 1 192 1 .7 3 7 2 42
P 1073 252
----------6分
P A 1 1（2）因为 n | An 1 ， P3 An | An 1 ， Pn P An ，2
所以 P An P An 1 P An | An 1 P An 1 P An | An 1 ，
P 1 1 1 1所以 n Pn 1 1 P3 2 n 1 P6 n 1 ，2
P 3 1 3 所以 n 7 6
Pn 1 ， ----------8分
7
P 2 P 3 1又因为 1 ，则 0，7 1 7 7
3 1 1
所以数列 Pn 是首项为 ，公比为 的等比数列，
7
7 6
n 1
故 P 3 1 1n
7 7 6
.…………………………………10分
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P 3 1 3 19证明：当 n为奇数时， n n 1 ，7 7 6 7 42
3 1
当 n为偶数时， Pn 7 7 6n 1
，则Pn随着 n的增大而减小，
P P 19所以， n 2 .42
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.…………………………………12分
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