2023-2024学年四川省成都七中高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若上的可导函数在处满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
4.直线：，被圆：截得最短弦的长为( )
A. B. C. D.
5.三个数，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
6.给图中，，，，五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色若有种颜色可供选择，则共有种不同的染色方案．
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为( )
A. B. C. D.
8.已知曲线与的两条公切线的夹角的正切值，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若随机事件，相互独立，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布且，则
B. 甲、乙、丙、丁到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则
C. 五名学生去四个地方参加志愿者服务，每个地方至少有一名志愿者，则不同的方法共有种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有种
11.已知抛物线：的焦点为，过抛物线上一点作两条斜率之和为的直线，与的另外两个交点分别为、均在点下方，则下列说法正确的是( )
A. 的准线方程是
B. 若圆与以为半径的圆外切，则圆与轴相切
C. 直线的斜率为定值
D. 的面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为 ．
13.某银行向贫困户小李提供万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润单位：万元与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元．
14.某盒中有个大小相同的球，分别标号为，，，，从盒中任取个球，记为取出的个球的标号之和被除的余数，则随机变量的期望为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
某企业研发一种新产品，要用与两套设备同时生产，已知设备的生产效率是设备的倍，设备生产的新产品合格率为，设备生产新产品合格率为，且设备与生产的新产品是否合格相互独立．
从该公司生产的新产品中随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率；
从某批新产品中随机抽取件，设表示合格品的件数，求的分布列和方差．
17.本小题分
如图，已知在平行六面体中，所有的棱长均为，侧面底面为的中点，．
证明：平面底面；
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数，证明：当时，函数在上只有个零点．
19.本小题分
已知双曲线的实轴长为，顶点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为、、、，证明：；
求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.解：，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，得，
检验：当时也满足，
所以，；
由知，，
所以
，
所以．
16.解：设事件表示“随机抽取一件新产品，来自设备生产”，
事件表示“随机抽取一件新产品，来自设备生产”，
事件表示“随机抽取一件新产品为合格品”，
因为设备的生产效率是设备的倍，所以，，
，，
所以
，
所以所抽产品为合格品的概率为；
表示抽取合格品的件数，的可能取值为、、、、，则由题意，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
17.解：证明：连接，在菱形中，因为，为的中点，
所以，所以，又因为侧面底面，
侧面底面，侧面，
所以底面，
又平面，
所以平面底面；
连接，，取中点为，连接，，
因为，
故三角形为等边三角形，则，
因为侧面底面，
侧面底面，侧面，
所以底面，
又，底面，所以，，
在三角形中，因为，故三角形为等边三角形，
则，所以，，两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又，
故，
，
因为，所以，，
因为底面，
所以取平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，得，
取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：因为，，且，
当时，，在上单调递增；
当时，由，可得时，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
故时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：当时，，令，
设，则，
因为，所以，
则方程有两个不同点根，
由得，
当时，，，所以时，无零点；
当时，，单调递增，，
，所以时，无零点；
当时，，单调递减，，
所以时，只有个零点；
综上，函数在只有个零点，即函数在上只有个零点．
19.解：由题意，解得，
所以双曲线的标准方程为；
证明：由题意直线的斜率不为，设直线：，如图，
因为直线与的右支交于两点，所以，
联立，消去得，则，即，
所以，
联立，消去得，，
所以，
所以，
即线段，的中点重合，
所以；
由题意得方程的初始解为，
根据循环构造原理得：，
从而，
记，则，设，的夹角为，
则的面积
，
令，则，
则
，
所以的面积为定值．
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