广西壮族自治区2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是( )
A. B. C. D.
2．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
A. B. C. D.
3．广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次.将849000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是( )
A. B. C. D.
5．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是( )
A.1 B. C. D.
6．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A. B. C. D.
7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
8．激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离与时间的关系式为( )
A. B. C. D.
9．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有( )
A. B. C. D.
10．如果，，那么的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
11．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为( )
A. B.
C. D.
12．如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为( )
A.1 B.2 C.5 D.10
二、填空题
13．已知与为对顶角，，则______°.
14．写一个比大的整数是__.
15．八桂大地孕育了丰富的药用植物.某县药材站把当地药市交易的种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则藤本类有______种.
16．不等式的解集为______.
17．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______.
18．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是.若实心球落地点为M，则______.
三、解答题
19．计算：
20．解方程组：
21．某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数.
22．如图，在中，，.
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长.
23．综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水.
浓度关系式：.其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.
24．如图，已知是的外接圆，.点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与相切；
（3）若，，求的半径.
25．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出，求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
26．如图1，中，，.的垂直平分线分别交，于点M，O，平分.
（1）求证：；
（2）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为.连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数.
参考答案
1．答案：A
解析：，，，
，
气温最低的是北京.
故选：A.
2．答案：B
解析：A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.是轴对称图形，故符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.不是轴对称图形，故不符合题意；
故你：B.
3．答案：B
解析：；
故选B.
4．答案：A
解析：由图可知：几何体的主视图为：
故选A.
5．答案：D
解析：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种，
；
故选D.
6．答案：C
解析：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故选：C.
7．答案：C
解析：点P的坐标为，
点Q的坐标为，
故选：C.
8．答案：A
解析：，
故选：A.
9．答案：A
解析：点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，，
.
故选：A.
10．答案：D
解析：，，
；
故选D.
11．答案：B
解析：根据题意，得，
故选：B.
12．答案：C
解析：四边形是正方形，
，，，，
E，F，G，H分别为各边中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
，
，
同理，
，，，
，
，
，
，
，同理，
平行四边形是矩形，
，，，
，
，
又，，
，
矩形是正方形，
在中，，
，
，
正方形的面积为5，
故选：C.
13．答案：35
解析：与为对顶角，，
.
故答案为：35.
14．答案：2(答案不唯一)
解析：，
，
符合条件的数可以是：2(答案不唯一).
故答案为：2.
15．答案：
解析：由扇形统计图可得，藤本类有种，
故答案为：.
16．答案：
解析：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：.
17．答案：
解析：过点A作于M，于N，则，
两张纸条的对边平行，
，，
四边形是平行四边形，
又两张纸条的宽度相等，
，
，
，
四边形是菱形，
在中，，，
，
四边形的周长为，
故答案为：.
18．答案：
解析：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是.
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为.
故答案为：.
19．答案：
解析：原式
.
20．答案：
解析：，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
方程组的解为：.
21．答案：（1）众数为1、中位数为2、平均数为
（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人
解析：（1）女生进球数的平均数为（个），
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个），
女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个；
（2）（人），
答：估计为“优秀”等级的女生约为50人.
22．答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）如下直线l即为所求.
（2）连接如下图：
为线段的垂直平分线，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
.
23．答案：（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水.
（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）两次漂洗的方法值得推广学习
解析：（1）把，代入
得，
解得.经检验符合题意；
只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水.
（2）第一次漂洗：把，代入，
，
第二次漂洗：
把，代入，
，
而，
进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.
24．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）10
解析：（1）证明：点D，E分别是，的中点，
，，
又，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
，D为中点，
，
过圆心，
，
，
而为半径，
为的切线；
（3）如图，过B作于Q，连接，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
设半径为r，
，
，
解得：，
的半径为10.
25．答案：（1）①；②当时，y有最小值为
（2）见解析
（3）正确，
解析：（1）①把代入，得：
；
；
②，
当时，y有最小值为；
（2），
抛物线的开口向上，
当时，y有最小值；
甲的说法合理；
（3）正确；
，
当时，y有最小值为，
即：，
当时，有最大值，为.
26．答案：（1）见解析
（2）①，；②或
解析：（1）证明：垂直平分，
，
，
平分
，
，
又；
；
（2）①，
，
，
，
又，
，，
垂直平分，
，，
，
，
取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
，，，
根据垂线段最短知，
又，
当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，
此时，
面积的最大值为；
②，，
，
同理
为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，
，，
，
，
，
，
、O、M三点共线，
为直角三角形，
此时旋转角；
当和C重合时，如图，
同理，，
，
，
，
，
、O、M三点共线，
又
为直角三角形，
此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形.
