济南育秀中学八年级期末数学试题
2024.6
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.四条边相等的四边形是矩形
B.有一个角是的平行四边形是正方形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6.如果是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
7.关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，中，，，，D，E分别为AB，AC的中点，为DE上一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.1
10.如图，正方形中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于，连接AG、HG.下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11.分解因式：___________.
12.已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为___________.
13.如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为___________.
14.如图，在菱形中，，，过点作，交BA的延长线于点，则线段DE的长为___________.
15.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________.
16.如图，点是矩形的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN.若，，则的最小值为___________.
三、解答题（10小题，共86分）
17.（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解.
18.（6分）先化简，然后在，0，2中选一个你喜欢的值，代入求值.
19.（6分）已知：如图，点O为对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：.
20.（8分）解下列方程：
（1）； （2）
21.（8分）已知关于的方程.
（1）求证：无论取何值时，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根，，当时，求的值.
22.（8分）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形是矩形？
（2）当t为何值时，四边形是菱形？
23.（10分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24.（10分）综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，因为，可知当时，的最小值是.请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）知识过关：请用适当的数字填空：__________（__________）；
（2）知识应用：已知是任何实数，若，，通过计算判断M、N的大小；
（3）知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米.设与墙壁垂直的一边长为x米.
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
25.（12分）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为DC、BC边上的点，，连接EF，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点A顺时针旋转90°得到（如图2），此时GF即是.
图1 图2 图3 图4
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）在图2中，的度数是___________.
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，E是CD上一点，若，，求BE的长度.
（3）如图4，中，，，以AB为边作正方形，连接CD.当___________时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值.
26.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转90°得（点A与点C对应，点B与点D对应）.
图1 图2
（1）直接写出直线CD的解析式：
（2）点E为线段CD上一点，过点E作轴交直线AB于点F，作轴交直线AB于点G，当时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点.且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程.
