2023-2024学年广东省佛山市南海一中高二（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记为等差数列的前项和，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知非零实数，，不全相等，则下列结论正确的是( )
A. 若，，成等差数列，则构成等差数列
B. 若，，成等比数列，则，，构成等差数列
C. 若，，成等差数列，则，，构成等比数列
D. 若，，成等比数列，则，，构成等比数列
5.有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，则它是次品的概率为( )
A. B. C. D.
6.某市年至年新能源汽车年销量单位：千台与年份代号的数据如下表：
年份
年份代号
年销量
若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为，则表中的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知且，且，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去，，，四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是( )
A. 若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法
C. 若甲不去区，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法
D. 若区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法
10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列从第行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是( )
A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数字是
B.
C. 在“杨辉三角”中，从第行开始到第行，每一行从左到右的第个数字之和为
D. 的前项和为
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数在处的切线方程为
B. 函数存在唯一的极小值点
C. 函数的极小值大于
D. 函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为______结果用数字作答
13.如果一个等比数列前项的和等于，前项的和等于，那么它前项的和等于______．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球后球在乙手中的概率为______，第次传球后球在乙手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，当时，取得极值．
求的解析式；
若对任意的都有成立，求的取值范围．
16.本小题分
已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前项和为．
求数列的通项公式及其前项和；
设，求数列的前项和；
设集合，求集合中所有元素的和．
17.本小题分
某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次元在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用元，无需支付小费现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是次，次或次，其概率分别是记表示台机器在三年使用期内的维修次数，表示购买台机器时，一次性购买的维修服务次数．
求的分布列：
以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？
18.本小题分
截至年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办年，累计推选出余座幸福城市，全国亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心，为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的列联表数据单位：人．
男 女 为合计
非常幸福
比较幸福
合计
将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关；
若感觉“非常幸福”记分，“比较幸福”记分，从上表男性中随机抽取人，记人得分之和为，求的分布列，并根据分布列求的概率，
附：，其中．
19.本小题分
已知函数，
讨论的单调性；
若存在两个零点，．
求的取值范围；
证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数，当时，取得极值，
则，解得．
；
若对任意的都有成立，
则函数在上的最大值小于，
由，得，
由，得或．
当时，，当时，，
可得的增区间为，，减区间为．
又，，
函数在上的最大值为，则的取值范围是．
16.解：因为是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，
所以，即，
又，
所以，，，
；
，
则数列的前项和；
集合，
故，
故集合中所有元素的和即求数列的前项和，
则．
17.解：的取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为：
于是，
当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为：
于是，
因为，所以应选用．
18.解：补充完整的表格如下所示：
男 女 合计
非常幸福
比较幸福
合计
零假设为：“城市幸福感”指数与性别无关．
计算可得；
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为“城市幸福感”指数与性别无关，
由题可知，的可能取值有，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
19.解：函数的定义域为，．
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，解得．
由，可得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由可知，当时，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值也是最小值．
．
若有两个零点，则，即，因为，解得，
因为，所以，
由零点存在性定理可知在上有一个零点，所以在上有一个零点．
构造函数，因为，所以在上单调递增，
于是，于是，
取，则，
所以，由零点存在性定理可知在上有一个零点，所以在上有一个零点．
综上所述，的取值范围为．
因为，是的两个零点，所以，，不妨设，
两式相减，可得，即，
要证成立，只需证成立．
上述不等式，
令，不等式．
构造函数，则，“，
所以在上单调递增，于是，所以在上单调递增，
于是．
综上所述，．
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