2023-2024学年江苏省镇江市高一下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足：，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，将一个圆柱等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则原圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7.设为锐角，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是( )
A. ， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知复数是虚数单位，是的共轭复数，下列说法中正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 是的一个平方根
11.设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的“仿射坐标”为
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱，高为，体积为，则这个球的表面积是 ．
13.将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 ．
14.某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘如图，结合地形，他们选择了，两地作为测量点通过测量得知：，两地相距米，，分别位于地正东和东偏南方向上，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上则，两地之间的距离为 米若一辆汽车通过高速公路段用时约秒，则该辆汽车的车速约为 千米小时．参考数据：，，，
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中
求证：平面
求证：C.
16.本小题分
在直角坐标系中，已知向量，，其中，为坐标平面内一点．
若，，三点共线，求的值
若向量与的夹角为，求的值
若四边形为矩形，求点坐标．
17.本小题分
已知角，满足，，且，．
求的值
求的大小．
18.本小题分
在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
的面积为
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 ．
求角
若，求面积的最大值
在的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
已知在多面体中，，，．
若，，，四点共面，求证：多面体为棱台
在的条件下，平面平面，，，，且．
求多面体的体积
求二面角正切值．
答案和解析
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15.证明：正方体，
，又平面，且平面，
平面．
【法一】连接，，，
正方体中平面，平面，
所以，
在正方形中，，又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以C.
【法二】在正方体中，平面，
则为在面内射影，
又平面，
在正方形中，，
由三垂线定理得，C.
16.【解答】解：因为向量，，，
所以，，因为，，三点共线，
所以，则，得：．
由知，，又因向量与的夹角为．
所以，解得：．
设点坐标为，因为四边形为矩形，所以即：所以解得：
即点坐标为．
17.解：因为，，则，
【法一】则．
【法二】则，
因为，，
则，，
所以，
由，，，
所以．
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
则，
则，
因为，，
则，
又因为，
所以：，
所以．
18.【解答】解：若选由正弦定理得：，在中，，所以，则，得，
所以，因为，，所以，
因为，所以．
若选因为，由正弦定理知：，又，
所以，因，所以．
若选，则，由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以．
因为，，由余弦定理得：，则，所以当且仅当时，，则面积的最大值为．
因为，，得，则，，则，因为为锐角三角形，，所以即所以，所以，所以所以
19.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
同理可证：平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，
则，则，共面，
因为，设，
由，平面，
所以平面，
同理可证：平面，
所以平面平面，
又因平面平面，
所以，
则，，交于同一点，
又因为平面平面，
所以多面体为棱台；
三棱台中，由侧棱，，交于同一点，连接，
侧面梯形中，，，
所以梯形为直角梯形，
又因为，，
所以，
所以，
则，
又因面面，面面，面，
所以平面，
即是点到平面的距离，
三棱台中，，即，所以，
侧面梯形中，，，，，
所以，
又，
所以，
因为
，
所以所求棱台的体积为
在内，过点作垂足为，连接，
由平面，
又平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又，
所以是二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
，
即，得，
，
所以二面角正切值为．
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