第15章《 分式》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
2．能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．分式的值为整数，则整数a的值为（ ）
A．1，2，4 B． C．0，1，3 D．
4．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
5．解分式方程时，下列去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．已知正整数，的最大公约数是3，最小公倍数是60，若，则（ ）．
A． B． C． D．或
8．在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
9．若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．6 B．10 C．8 D．2
10．如图，分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的2倍少0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．若是方程的根，则代数式的值是 ．
13．若，则 ．
14．若关于x的方程无解，则a的值是
15．定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ．
16．如图，在中，平分，于，若，，，则的面积为 ．
17．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ．
18．元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算∶
(1)； (2)
20．（8分）化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值．
21．（10分）解下列分式方程：
(1)； (2)
22．（10分）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
23．（10分）关于的方程：的解为；
的解为或；
的解为；
的解为；
…
根据材料解决下列问题：
(1)方程的解是___________；
(2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验；
(3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于的方程：．
24．（12分）阅读材料：
已知，为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6．
根据以上材料解答下列问题：
【灵活运用】
（1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为________．
（2）已知，求代数式的最小值．
【拓展运用】
（3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？
（4）如图2，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是4和12，求四边形面积的最小值．
参考答案：
一、单选题
1．D
【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零．
根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果．
【详解】当时，
，
即，
解得： ，
当，时，分式的值为零
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，
故选：C．
3．D
【分析】根据分式的值为整数可知，a+1的值为-4，-2，-1,1,2,4，计算可得答案．
【详解】解：∵分式的值为整数，
∴a+1是4的因数，
故a+1的值为-4，-2，-1,1,2,4，
∴a的值为-5，-3，-2,0,1,3，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
【详解】解：，
∵运算的结果为整式，
∴中式子一定有的单项式，
∴只有D项符合，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以，化成整式方程，问题得解．
【详解】解：，
方程两边同乘以得 ．
故选：A
6．D
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
∵分式方程的解是非负数，，
∴，
解得，且，
故选：D．
7．D
【分析】先由、是正整数，、的最大公约数是3，最小公倍数是60，得到、的值，然后代入求出代数式的值．
【详解】解：、都是正整数，它们的最大公约数是3，所以设，、都是正整数，且
由于、的最小公倍数是60，
所以即
由于、互质，、都是正整数，
，或，．
即：或
当时，
原式；
当时
原式
故选：D
8．B
【分析】首先求出，所在直线的解析式为，然后将代入得到，然后代入变形为，利用换元法和完全平方公式得到，然后利用平方的非负性求解即可．
【详解】设，所在直线的解析式为
∴，解得
∴
∴将代入得
整理得，即
∴
设
∴原式
∵
∴
∴的最小值为
∴的最小值为．
∴的最小值为．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了不等式组的取值范围，分式方程的解，分式方程的非负整数与a的整数解容易混淆，仔细辩解是解决本题的关键．
分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组有且仅有3个整数解”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程解是非负数”，得到a的值，即可得到答案．
【详解】解：解不等式得：
，
解不等式得：
，
∵该不等式组有且仅有3个整数解，
∴该不等式组的整数解为：2，3，4，
则 ，
解得：，
解分式方程得：
且，
∵该分式方程有非负数解，且，
则，1，2，3，
符合条件的所有整数a的和是．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
则可列方程为，
故选：A．
二、填空题
11．x≠-3且
【分析】根据，且计算即可，本题考查了分式有意义条件，熟练掌握是解题的关键．
【详解】分式有意义．
故，且，
解得x≠-3，且
故答案为：x≠-3且．
12．
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了求代数式的值、分式的加减及解二元一次方程组，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．由，从而有，进而构造二元一次方程组求得m，n的值代入原式即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
14．1和2
【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，分式方程无解有两种情况，第一分式方程本身无解，第二分式方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时方程无解；
当，即时，，
∵此时方程无解，
方程有增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解；
综上所述，或．
故答案为：1和2．
15．或
【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可．
【详解】与互为“美妙分式”，
，
，
或，
或，
、均为不等于的实数，
①，②，
把①代入，
把②代入，
综上：分式的值为或．
故答案为：或．
16．
【分析】过点作于点，利用角平分线性质则有，然后根据面积公式即可求解．
【详解】如图，过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查分式的加减法和二次根式的运算．找出规律是解题的关键．利用分式的加减法则分别可求，， ，，利用规律求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
……
，
……
∴．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：原式；
（2）原式．
20．解：原式
，
，
，
，
∵，
∴，
当时，原式；
当时，原式．
21．（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
检验，当时，，
∴不是原方程的解；
∴原方程无解．
22．（1）设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：购入种原料每千克的价格最高不超过10元．
（2）设这种产品的批发价为元，则零售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
23．（1）解：由可得，
∴该方程的解为：或；
（2）方程的解为：或，
检验：当时，左边右边，
故是方程的解，
当时，左边右边，
故也是方程的解；
（3）原方程可化为：，
所以或，
解得：或，
经检验，或是原方程的解，
故答案为：或．
24．解：（1）令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（2）
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
∴代数式的最小值为
（3）设花圃的宽为米，则长为米，
所用的围栏
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
故：所用的围栏至少为米
（4）作，如图所示：
由题意得：
∵
∴四边形面积
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
∴四边形面积的最小值为
