忻城县高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复数(i为虚数单位)的虚部为( )
A.2 B. C.2i D.
2．已知向量，，若，则实数( )
A. B. C.1 D.2
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.或
4．向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是( )
A. B.
C. D.
6．侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C.2 D.1
7．如图，在中，设，，，，则( )
A. B. C. D.
8．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的面积的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
二、多项选择题
9．已知,，则以下说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若与夹角为锐角，则m的取值范围为
10．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则m，n是异面直线
D.若，，，则或m，n是异面直线
11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，，则外接圆半径为
C.若，则为等腰三角形
D.若，，，则三角形面积
三、填空题
12．已知数(i为虚数单位)，且z的共轭复数为，则______.
13．如图所示，直观图四边形是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.
14．九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，，当“阳马”四棱锥的体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为______.
四、解答题
15．已知向量,，且.
（1）求向量，的夹角；
（2）求的值.
16．如图所示，在正六棱锥中，O为底面中心，，.
（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积.
17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，两处作为测量点，测得的距离为，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.
（1）求A，C两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
18．如图所示，在正方形中，，，，与交于点G，线的延长线交于点H.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
19．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：复数(i为虚数单位)的虚部为.
故选：B.
2．答案：B
解析：，
，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：，，，
由正弦定理可得：，
，
，
.
故选：A.
4．答案：C
解析：向量，，
则，，
故所求投影向量为：.
故选：C.
5．答案：B
解析：对于选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于，
而点G不在直线上，
故E，F，G，H四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线，
则由中位线定理可知，，又，
则，
故E，F，G，H四点共面；
对于选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，
而点G不在该平面内，
故E，F，G，H四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，
而点F不在直线上，
故E，，，四点不共面.
故选：B.
6．答案：D
解析：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为r，则圆锥的侧面积为，
由侧面展开图是一个半圆，则，
解得，，
所以圆锥的底面半径为1.
故选：D.
7．答案：C
解析：因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为，由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
由，得，
所以，当且仅当时，取等号，
则，
所以的面积的最大值为.
故选：B.
9．答案：BC
解析：因为，则,或，
故选项A不正确；
由，则，
故选项B正确；
由，则，
故选项C正确；
：若与夹角为锐角，则且不共线，
所以且，
m的取值范围为，
故选项D不正确.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：
对于A，若，，则由线面垂直的性质定理得，故A正确；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则m，n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，，则或m，n是异面直线，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为B，C为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由得，
所以，即，
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底，高，下底为，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得平面，
则四棱锥的体积为，
所以，
此时三棱柱的外接球的直径，
故三棱柱的外接球的体积为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，，，可得，解得，
则，
又因为，所以.
（2）由，且，
则.
16．答案：（1）；
（2）该正六棱锥的体积为；侧面积为.
解析：（1）由条件可知正六边形的边长为4，
所以底面积为，
该正六棱锥的体积为.
正六棱锥的侧棱长为，
侧面等腰三角形的面积为，
故该正六棱锥的侧面积为.
（2）球心M一定在直线上，设球M的半径为R，
则，
又，
所以，解得.
所以球M的表面积为，
体积为
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，，
根据正弦定理可知：，则，
所以；
（2），
在中，因为，则，
所以
.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，所以，
所以，
，，
因为，，
所以
；
（2）设，
因为，，
所以，
设，又，
则，
所以，解得，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又A，H，D三点共线，即,共线，
所以，
所以.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由条件得，
由余弦定理得，
因为，所以，
得，即，
因为，所以，
又，所以.
（2）.
因为为锐角三角形，
所以，且，所以.
所以，
即的取值范围是.
