山西省临汾市2024届高三第二次高考考前适应性训练数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等比数列，，，则( )
A.2 B. C. D.
2．2024龙年春节假期（2月10日至2月17日，初一至初八）为期8天，号称“史上最长”春假，很多家庭选择出游，团圆出游两不误，先守岁迎新，后外出旅游成为2024年不少游客的选择.截至2月19日，国内各省市相继发布春节假期旅游“成绩单”，整体来看国内旅游市场迎来"开门红”.以下是一些省市接待的游客人数
省（市） 北京市 上海市 天津市 吉林省 江苏省 浙江省 四川省 湖南省 河南省 广东省
人数（百万） 18 17 14 21 55 30 45 37 50 76
以上这组数据的第80百分位数是( )
A.47.5 B.50 C.52.5 D.55
3．设，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
4．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
5．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.函数在上单调递增
B.函数的图象关于直线对称
C.，方程都有两个不等的实根
D.不等式恒成立
6．人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈.腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀.对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下：
喜欢读书 不喜欢读书 合计
男生 260 60 320
女生 200 m
合计 460
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
7．如图所示，在三棱锥中，,,围绕棱PA旋转后恰好与重合，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径R为( )
A.1 B. C. D.2
8．已知点F是椭圆的右焦点，点M在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N.若，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是( ).
A.若，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足，则的虚部为1
C.若z是方程的根，则
D.若z满足，则的最大值为
10．设，是平面内相交成角的两条数轴，,分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作.则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，，则A，B，C三点共线
C.若，，则
D.若，，，则四边形OACB的面积为
11．在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB和CD（包括端点）的动点，直线PQ与平面ABC、平面ABD所成角分别为，，则下列说法正确的是( )
A.的正负与点P，Q位置都有关系
B.的正负由点Q位置确定，与点P位置无关
C.的最大值为
D.的最小值为
三、填空题
12．已知圆C过点，，，则C的方程为________.
13．已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，若在上的最小值为-1，则t的最大值是________.
14．已知函数，函数有两个极值点,.若，则的最小值是________.
四、解答题
15．已知质量均匀的正n面体，n个面分别标以数字1到n.
(1)抛掷一个这样的正n面体，随机变量X表示它与地面接触的面上的数字.若求n；
(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量Y表示这两个正n面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，Y分别取值0，1，2，求Y的分布列及期望.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围.
17．已知数列，满足，，.
(1)计算，，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和.
18．已知椭圆的离心率为，点在C上.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于P，Q两点，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上.
19．在计算机科学中，n维数组，，是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用.对于维数组，，定义A与B的差为,A与B之间的距离为.
(1)若n维数组，证明：；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有；
(3)设集合P中有个n维数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由等比数列的性质可知，，
所以，又因为，所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：将表中数据从小到大排列为：14,17,18,21,30,37,45,50,55,76共10个，
则，则这组数据的第50百分位数为：.
故选：C.
3．答案：D
解析：对于A，如图，,,
但直线m，l平行，A错误；
对于B，如图，，，
但是平面，不平行，B错误；
对于C：如图，，，
但是，C错误；
对于D，如图，，，，
过直线l作平面，满足条件，
因为，，，
所以，
过直线l作平面，满足条件，
因为，，，
所以，
所以，又，，
所以，又，，
所以，又，
所以，D正确；
故选：D.
4．答案：D
解析：设，，
因为直线l与C相交于A，B两点，所以，
由题意得，
故选：D
5．答案：C
解析：因为，，，所以A不正确；
若函数的图象关于直线对称，则，而，，
所以函数的图象不关于直线对称，B不正确；
当时，，此时的值域为；
当时，，此时的值域为；
简图如下：
所以，方程都有两个不等的实根，C正确；
，显然，所以D不正确.
故选：C
6．答案：A
解析：根据列联表可知:，，，，则，
由公式
，
即根据小概率值独立性检验.推断是否喜欢阅读与性别有关，
则根据可知只需即可，
，即即可.
当取时，则满足题意，故m可取20；
当取时，则不满足题意；
当取时，则不满足题意；
当取时，则不满足题意；
故选：A.
7．答案：C
解析：
如图，取中点O，连接，
因为,
所以，，
又，且都在平面内，
所以平面，且，
设，则，且为等边三角形，
所以O为三棱锥外接球的的球心，半径，
所以，
解得，
所以，
故ABD错误，C正确；
故选：C.
8．答案：B
解析：设为椭圆的左焦点，且其焦距为，连接，
设圆的圆心为，半径，
作图如下：
由，，，
则，，所以，
因为，所以，
因为与圆，所以，即，
易知，则，可得，则，
在中，，则，
由，则，所以.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A：在复平面内对应的点为，位于第二象限，故A正确；
对于B：因为，所以，则
所以的虚部为，故B错误；
对于C：方程的根为，故C正确；
对于D：设，若z满足，即，
所以，即，
则点在以为圆心，2为半径的圆上，
又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：对于A，由题意得，
故，
故.正确；
对于B，由题意得,，所以，所以A，B，C三点共线.正确；
对于C，由题意得,，
所以，
故与不垂直，错误；
对于D，因为，，，所以，，，
所以，，，
，
，所以，
即，所以，在中，由余弦定理知，
，所以，所以，
所以四边形OACB的面积为.正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：取的中点E，连接,，过点Q在平面内分别作,，
垂足分别为M,N，如图所示，
在正四面体ABCD中，,均为等边三角形，因为E为的中点，
所以,，又因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以平面.
所以直线与平面所成的角为，
即，同理可得：，
所以的正负只由点Q位置确定，与点P位置无关，
故选项A错误，选项B正确；
设，则，且,
在中，，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，
则，
将正四面体ABCD补成正方体，如图所示：
连接，在线段上取点K，使得，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以平面，因为平面，所以，
所以平行四边形为矩形，则，
因为且，所以四边形为矩形，
则，且.
因为平面，平面，所以，
设，因为四边形为正方形，所以，
所以，且，
则，
所以，
则，
，
故选项C，D都正确，
故选：BCD.
12．答案：
解析：设圆C的一般式方程为：，
因为圆C经过点,，，
所以,解得，
所以圆C的一般式方程为：.
故答案为：.
13．答案：
解析：函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
因为图象关于y轴对称，所以，，
可得，，又，所以，即，
要使在上的最小值为，则在上的最小值为，
当时，，又，
所以，解得，即t的最大值是.
故答案为：
14．答案：
解析：因为，
令，
因为，有两个极值点,，
所以,是方程在上的两根，
所以，，所以，，
所以，
设,，
则，
所以当时，，所以在上单调递减，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)分布列见解析，.
解析：（1）因为，所以.
（2）样本空间，共有36个样本点.
记事件“数字之和小于7”，事件“数字之和等于7"，
事件“数字之和大于7”.
，
，共15种，
故
，共6种，
故；
，
，共15种，
故；
从而Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
故
16．答案：(1)答案见解析；
(2)
解析：（1）.
①若，，在为增函数；
②若，令，得.
当时，,为减函数，
当时，,为增函数.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意.
当时，在单调递减，在单调递增，
因为有两个零点，必有，
因为，所以.令，
则，所以在单调递减，而，
所以当时，，即.
又，故在有1个零点；
当时，因为，则，由得，由得，
所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以，
取，有，
所以在有1个零点.
综上所述，当有两个零点时，.
17．答案：(1)，，，；
(2)
解析：（1）由题可知，，，
令，，得；
令，，得.
由已知，，
可得，
两式相减得.
解法一：
整理得：，.又满足上式.从而对均成立.
因此为常数列，即有，故.
解法二：
整理得：，.又满足上式.
故，.
即，.当时符合上式，故.
（2）由（1）可知，所以.
因此
=.
18．答案：(1)；
(2)证明见解析.
解析：（1）由题意可得，解得，所以C的方程为.
（2）
如图：设，，的中点，
则直线AQ方程为，所以，
于是，
由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为，
联立，
解法一：消去y得，
所以，，，即.
则有，
又因为，
所以，
于是，
即，
即，即，
即点N在直线上.
解法二：
，
,，即
故点N的纵坐标为：，
即，，
即，
又因为，
即，所以，
故，同理，所以即，
即点N在直线上.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
解析：（1）设A与B的对应项中同时为0的有个，同时为1的有个，则对应项不同的为个，所以.
所以.
（2）设，，.
因为，
所以.
因为，.
所以当时，，
当时，
所以
（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为，
则.
设集合P中所有元素的第个位置的数字共有个个0.
则，因为，
所以.所以.
所以
