内蒙古包头市2024届高三上学期开学调研考试数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2．设，则复数( )
A. B. C. D.
3．已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
4．函数的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
5．若x，y满足约束条件，则最大值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
6．若，则( )
A. B. C. D.
7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，当你到达路口时，看见黄灯的概率为( )
A. B. C. D.
8．下列函数中的奇函数是( )
A. B. C. D.
9．在正方体中，直线与平面所成角为( )
A. B. C. D.
10．已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
11．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若，则C的方程为( )
A. B. C. D.
12．设函数则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知向量，，若，则______.
14．双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.
15．记为各项均为正数的数列的前n项和，若，，则______.
16．在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题
17．A，B两台机器生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器产品的质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
A机器 70 30 100
B机器 80 20 100
合计 150 50 200
（1）A，B两台机器生产的产品中二级品的频率分别是多少？
（2）能否有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异？
附：，
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，且.
（1）求b；
（2）求.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求及三棱锥的体积.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个零点，求a的值.
（注：）
21．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，轴，垂足为D，连结并延长交曲线C于点H.证明：直线与的斜率之积为定值；
22．在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出的一个参数方程；
（2）直线l与相切，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，若，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由，集合，
得.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意可得：.
故选：A.
3．答案：C
解析：对于命题p，当时，，故命题p为真命题；
对于命题q，当时，，所以命题q为假命题.
所以，为真命题，，，为假命题.
故选：C.
4．答案：C
解析：.
A：因为，
所以本选项不符合题意；
B：因为，
所以本选项不符合题意；
C：因为，
所以本选项符合题意；
D：因为，
所以本选项不符合题意，
故选：C.
5．答案：B
解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为直线，
当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
联立方程组，解得，代入可得.
故选：B.
6．答案：D
解析：.
故选：D.
7．答案：D
解析：由题意可得：看见黄灯的概率为.
故选：D.
8．答案：B
解析：A选项，对于函数，由解得，
所以的定义域是，所以是非奇非偶函数.
B选项，对于函数，由解得，
所以的定义域是，
，所以是奇函数，B选项正确.
C选项，对于函数，的定义域是R，
，所以是偶函数.
D选项，对于函数，所以的定义域是R，
，所以是偶函数.
故选：B.
9．答案：A
解析：如图，连接交于O，连接，
因为平面，在平面内，
所以，又，，，平面，
所以平面，
所以为直线和平面所成的角，
设正方体的棱长为1，则，，，又平面，故，
所以，
因为，所以，
所以直线和平面所成的角为，
故选：A.
10．答案：A
解析：因为为数列的前n项积，所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，得，所以，
故是以3为首项，2为公差的等差数列；
，
故选：A.
11．答案：C
解析：由题可设抛物线的方程为，则准线方程为，
当时，可得，
可得，，又，，
所以，即，
解得，
所以C的方程为.
故选：C.
12．答案：B
解析：当时，，，，，则不成立；
当时，，，，，
由，得，得，与矛盾，舍去，
当时，，，，，
由，得，则，得.
综上，满足的x的取值范围是.
故选：B.
13．答案：4
解析：，
由于，
所以.
故答案为：4.
14．答案：3
解析：由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
则焦点到其渐近线的距离是.
故答案为：3.
15．答案：30
解析：因为，，，
所以，，由，可得，
所以，
所以.
故答案为：30.
16．答案：④⑤
解析：根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；
几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；
图（1）图（2）
故答案为：④⑤（或⑤④）.
17．答案：（1）0.3；0.2；
（2）没有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异.
解析：（1）根据题表中数据知，
A机器生产的产品中二级品的频率是，
B机器生产的产品中二级品的频率是；
（2）根据题表中数据可得，
因为，
所以没有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为的面积为，且，
可得，所以，
又因为，所以，
由余弦定理可得，所以.
（2）由（1）可得，则，
又由，
因为，则，联立方程组，解得，，
根据正弦定理，即，
所以，
同理得，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2），
解析：（1）因为平面，又平面，
所以，又，且，，平面SAC，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）连接，由（1）可知，平面，
又平面，故，
又四边形是矩形，所以四边形是正方形，所以.
所以
.
20．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1），，
当，即时，，所以在R上单调递增，
当，即或时，
令，解得，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在R上单调递增，
当或时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，此时函数无零点，
当时，等价于，
设，，则，
当时，，故单调递增，且，
当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
又，当且时，，当时，，
如图作出函数的大致图象，
由图可知，要使，两个函数有两个交点，则，
即当时，有且只有2个零点.
21．答案：（1），C为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点
（2）证明见解析
解析：（1）因为，，，
所以，，
所以，化解得，
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；
（2）设直线的斜率为k，则其方程为，
由，得，记，则，，，
于是直线的斜率为，方程为，
由，得①，
设，则和是方程①的解，
故，由此得，
从而直线的斜率，
所以，即直线与的斜率之积为定值.
22．答案：（1）（为参数）；
（2），或.
解析：（1）由题意可知，的标准方程为，
所以的参数方程为（为参数）；
（2）由题意可知，直线l的斜率为，设其方程为，即，
因为圆心到直线l的距离为4，所以，
化解得，解得，或，
所以直线l的直角坐标方程为，或，
所以直线l的极坐标方程为，或.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时，，
由，得，
当时，得，解得，又，所以；
当时，得，不成立；
当时，得，解得，又，所以.
综上，原不等式的解集为或.
（2）根据绝对值不等式性质，
，
当x的值在a与之间（包括两个端点）时取等号，
若，则只需，当时，，恒成立；
当时，等价于，或，解得，
综上，a的取值范围为.
