江苏省苏州新草桥中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有( )
A.24种 B.6种 C.4种 D.12种
2．已知，，且，则的最小值为( )
A.8 B. C.9 D.
3．已知某地区高中生的身高X近似服从正态分布，若，则( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
4．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法
D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
5．已知，，，则( )
A. B. C. D.
6．的展开式中的系数是( )
A.60 B.80 C.84 D.120
7．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，下列说法正确的是( )
A.在处的切线方程为 B.单调递增区间为
C.的极大值为 D.方程有两个不同的解
10．下列命题中，正确的命题是( )
A若事件A，B满足，，则
B.设随机变量服从正态分布，若，则
C.若事件A，B满足，，，则A与B独立
D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5
11．对任意实数x，有则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．回归方程在样本处的残差为________.
13．的展开式中的系数是___________.（用数字作答）
14．已知二次函数.甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：y的对称轴大于零.在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为________.
四、解答题
15．已知函数
（1）若，求函数的最小值；
（2）解不等式.
16．已知展开式的二项式系数和为512，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
17．甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约.2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数
男生 35 15
女生 40 10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，.
（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
（2）若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望.
参考公式与临界值表：，.
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
18．为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率.
（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
19．已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时，在上存在极小值.
参考答案
1．答案：B
解析：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B.
2．答案：C
解析：由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为9.
故选：C.
3．答案：D
解析：依题意，，
故选：D.
4．答案：D
解析：选项A，6本不同书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.
故选：D.
5．答案：A
解析：，，
，
，，
，
，
又，
.
故选：A.
6．答案：D
解析：的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
7．答案：A
解析：函数定义域非空集，则，解得.
记，
因为，所以的解集为，
依题意有或，所以或，
又，，所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：由题意知：，
时，得或；时，得.
在上递增，上递减，上递增，
当时，有极大值，当时，有极小值，
只有当或时，函数有且仅有一个零点，
或，
故选：A.
9．答案：AC
解析：因为，所以函数的定义域为，
所以，，，
的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，
的极大值也是最大值为，故C正确；
方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，
作出函数与图象如图所示：
由图象可知方程只有一个解，故D错误.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：对于A：因为，，故A正确.
对于B：因为，，则，，故B错误.
对于C：若，则A与独立，则A与B独立，故C正确.
对于D：男生成绩设为，，，，，，
，
.
女生成绩设为，，，，，，
，
.
所以，
则，故D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：由，
当时，，，A选项错误；
当时，，即，C选项正确；
当时，，即，D选项正确；
，由二项式定理，，B选项正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题当时，，
故，
所以回归方程在样本处的残差为.
故答案为：.
13．答案：
解析：展开式的通项为，，1，2，…，5，
则当时，的系数为.
故答案为：.
14．答案：
解析：若甲正确，则且，即，则；
若乙正确，则且，即，则；
若丙正确，则二次函数的对称轴方程，可得；
因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故.
故答案为：.
15．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：（1）因为函数的对称轴为，
所以（ⅰ）当，即时，，
（ⅱ）当，即时，；
（2）由，可得，
即，所以，
所以（ⅰ）当时，不等式的解集为，
（ⅱ）当时，不等式的解集为，
（ⅲ）当时，不等式的解集为.
16．答案：（1）144
（2）19682
（3）5
解析：（1）由二项式系数和为512知，，即
由得.
（2）令，得，
令，得，
所以.
（3）由
因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5.
17．答案：（1）认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关
（2），
解析：（1）列联表：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 35 15 50
女生 40 10 50
合计 75 25 100
，
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以X服从二项分布，即，，
由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以Y的数学期望.
18．答案：（1）
（2）①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；②分布列见解析，2
解析：（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有（人），获二等奖的有（人），所以有8人获奖，42人没有获奖.
从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样本点总数为.设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则事件A包含的样本点的个数为.
由古典概型概率计算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民获奖的概率为.
（2）由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值.
故该市所有参加试卷竞答的市民成绩X近似服从正态分布.
①因为，所以.
，故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68.
②由，得，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为，所以随机变量.
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，
，，
，
随机变量的分布列如下：
0 1 2 3 4
P
所以.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，
即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.
（2）由，，，可得
当时，，所以函数的增区间为；
当时，若，，若，，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（3）由及题设得，
由可得，由（2）可知函数在上递增，
所以，取，显然，
，所以存在满足，即存在满足，所以，在区间上的情况如下：
x
- 0 +
↘ 极小 ↗
所以当时，在上存在极小值.
