都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考模拟数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设，则( )
A.0 B. C.1 D.
2．函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3．在中，为边上的中线，E为的中点，则( )
A. B. C. D.
4．如图，在正方体中，E、F、G、H分别为、、、的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
5．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800，1000，800(单位:人)，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本量n为( )
A.108 B.96 C.156 D.208
6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截，该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
7．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位:)的数据如下:27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是( )
A.29 B.36 C.30 D.29.5
8．如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，E是PB的中点，，，侧面与底面所成的二面角的大小( )
A.45° B.30° C.90° D.60°
二、多项选择题
9．在空间中，设m、n是不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题错误的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
10．已知函数，则下列说法错误的是( )
A.函数的最小正周期为 B.函数的图像关于对称
C.函数的图像关于对称 D.函数在上单调递减
11．三棱锥的各棱长都相等，D，E，F分别是、、的中点，下列四个结论中成立的是( )
A.平面
B.平面
C.平面平面
D.平面平面
三、填空题
12．已知________.
13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
，则的面积为________.
14．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
15．已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）求与.
16．如图，在中，点P在边上，，，.
（1）求；
（2）若的面积是，求.
17．已知函数的图象的一部分如图所示.
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的值域.
18．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，
，.
(1)证明：；
(2)求点C到平面的距离.
19．如图，在三棱锥中，，底面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，M是的中点，求与平面所成角的正
切值.
参考答案
1．答案：C
解析：详解
则，故选C.
2．答案：C
解析：根据余弦函数的性质,令
可得：
函数的单调递增区间是：
，
故选：C.
3．答案：A
解析：如图所示，
在中，为边上的中线，E为的中点，故
故选：A.
4．答案：B
解析：连结、、，则，且，，所以异两直线与所成的角等于.
5．答案：C
解析：高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：
，
现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，
由分层抽样性质，得：，解得.
故选：C.
6．答案：A
解析：设圆柱的底面直径为，则高为，圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
可得:，解得，
则该圆柱的表面积为:
故选:A.
7．答案：D
解析：12次测试测得最大速度（单位：)的数据从小到大为:
，
，
故选：D.
8．答案：D
解析：取AD的中点F，连接OF，PF，如图所示，
因为为正四棱锥，
所以底面，且底面$$为正方形，因为底面，底面，
所以，，
因为，F为的中点，
所以，
所以为侧面与底面所成的二面角的平面角，
因为O，F分别为$BD，AD$的中点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，即侧面与底面所成的二面角的大小为.
9．答案：ABC
解析：由题意知，A选项中，若，，则或，故A错误;B选项中，若，，则或，故B错误;C选项中，若，，则m与的位置关系不确定，故C错误;D选项中，若，，，则，故D正确.故选ABC.
10．答案：BC
解析：
11．答案：ABD
解析：对于A，D、F分别是AB、CA的中点平面PDF，所以A对；
对于B，，平面平面PAE，所以B对；
对于C，反证法，假设平面平面ABC，，平面PAE，又平面平面，平面ABC，与已知矛盾，所以C错；
对于D，，平面PAE，又平面平面ABC，所以D对.
故选：ABD.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：因为，
结合正弦定理可得，
可得，因为，
结合余弦定理，可得，
所以A为锐角，且，从而求得，
所以的面积为，故答案是.
14．答案：
解析：A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，，解得，
设球心为O，的外心为，显然D为的延长线与球的交点，如图:
，
则三棱锥高的最大值为6，
则三棱锥体积的最大值为
故答案为.
15．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）由，得，
即，求得，再由，可得.
（2）；
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，因为，，由余弦定理得，
即，
整理得，解得.
因为，所以，所以是等边三角形，所以.
（2）因为，所以.因为的面积是，所以，所以，
因为，所以
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由图可知，，又可得，代入最高点，可知，又，
故.
（2）由可得，
故正弦函数.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明:取CD的中点H，连接PH，
因为，所以.又因为平面平面，
平面平面，所以平面.又因为平面，所以.
又因为长方形中，，，所以平面.
又因为平面，所以.
(2)连接.由(2)知为三棱锥的高.
因为，，所以
由(2)知，又因为，所以，所以.
设点C到平面的距离为h.因为
所以
所以.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明:在三棱锥中，
因为底面，平面，所以，
又因为，即，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面
(2)在平面内，过点A作，连接DM，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以平面，所以∠AMD是直线AM与平面所成的角.
因为平面，平面，所以，
在中，因为，所以，
因为，所以D为的中点，且，
又因为M是的中点，在中，，
因为平面，平面，所以，
在中，.所以AM与平面PBC所成角的正切值为
