2023-2024学年山东省聊城第三中学等校高二下学期5月质量监测联合调考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知曲线在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则“有极值”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知对成对样本数据，，，，成线性关系，样本相关系数为，去掉对数据后，剩下的对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则( )
A. B.
C. D. ，的大小无法确定
6.某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分．在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选个，则这个点在同一个部分的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有个零点，则下列结论正确的是( )
A. 有个极小值点 B. 有个极大值点
C. D. ，可以同时小于
10.在张奖券中，一、二、三、四等奖各张，将这张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多张，则下列结论正确的是( )
A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况
B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有种不同的获奖情况
C. 若仅有两人获奖，则共有种不同的获奖情况
D. 若仅有三人获奖，则共有种不同的获奖情况
11.已知正数，，成等差数列，且随机变量的分布列为
下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某图书馆有文化类图书本，科学类图书本，若甲从这两类图书中借阅一本，则不同的选法共有 种．
13.若，且，则的最小值为 ．
14.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次，则质点经过且最终到达的位置的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
合格品 不合格品 合计
升级前
升级后
合计
根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关
在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取件产品，然后从这件产品中随机抽取件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率．
附：，其中．
16.本小题分
某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为，，三个等级，其中等级得分、等级得分、等级得分甲在笔试中获得等级、等级、等级的概率分别为，，，在面试中获得等级、等级、等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立．
求甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率
求甲笔试和面试的得分之和的分布列与期望．
17.本小题分
设函数的导函数为的导函数为的导函数为若，且，则点为曲线的拐点．
若函数，判断曲线是否有拐点，并说明理由；
若函数，且点为曲线的拐点，求在上的值域．
18.本小题分
在的展开式中，求形如的所有项的系数之和．
证明：展开式中的常数项为．
设的小数部分为，比较与的大小．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
当时，若恒成立，求实数的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：零假设为产品的合格率与技术是否升级无关．
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的合格率与技术是否升级有关．
升级前后合格品的比例为，
故抽取的件中有件属于升级前生产的，有件属于升级后生产的．
当，时，，
当，时，，
则的概率．
16.解：甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为．
由题意得的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
则的分布列为
所以．
17.
曲线有拐点，理由如下：
由题意得，，，
由，得或．
因为，，
所以点为曲线的拐点．
由题意得，，
由，得，且．
则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，所以在上单调递增．
因为，，所以在上的值域为．
18.解：的项即展开式中的所有项，
令，得的所有项的系数之和为．
证明：因为，
所以，
因为展开式的通项为
所以展开式中的常数项为．
解：由，得的整数部分为，
则，
所以，即
，
所以，
因为，所以．
19.解：．
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当时，令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由，得，即．
令，
则．
令，因为在上单调递增，且，，
所以，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，即的最大值为．
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