2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆台 C. 圆锥 D. 两个圆锥
2.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且满足，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形如图所示，则原平面图形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
5.在中，，则的最大内角等于( )
A. B. C. D.
6.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田种植环境相同连续次的产量如下：
甲
乙
则下列说法错误的是( )
A. 甲种水稻产量的众数为
B. 乙种水稻产量的极差为
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
7.在中，角，，所对的边分别为，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，函数，当时，有最小值，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则( )
A. 为纯虚数
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 注意：表示复数的共轭复数
D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.已知中，、、分别为角、、的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是( )
A. ，，
B. ，，
C.
D. ，，
11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，为虚数单位，则 ______．
13.在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中、，则______．
14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片，上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，使得点，，，重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求出的值；
求这人年龄的样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表和中位数精确到小数点后一位；
现在要从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求这人恰好在同一组的概率．
17.本小题分
如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形．
求直线与平面所成角的余弦值；
证明：平面；
求平面与平面所成的二面角的平面角的大小．
18.本小题分
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．
现设，分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．
用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的，，排序结果，并求出相应的值；
，，
，，
甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求；
甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足．
求角；
为边上一点，，且，求的最小值．
圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
．
由题意知，，
设与的夹角为，则，
故与的夹角的余弦值为．
16.解：由频率分布直方图的性质得：
，得；
平均数为岁；
设中位数为，则，岁；
第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，
则第，组抽取的人数分别为人，人，分别记为，，，，，
从人中随机抽取人，所出现的可能的结果为：
，，，，，，，，，共个基本事件，
这人恰好在同一组的可能结果为：
，，，共个，
所以这人恰好在同一组的概率．
17.解：因为平面，平面，
所以，
因为为正方形，所以，
又，，平面，
所以平面，
故就是直线与平面所成角，
在中，易得，，
所以，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为；
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，
所以四边形为直角梯形，
所以，，
在中，，则，
故，
因为平面，平面，
所以，
在中，，
在中，，，
所以，
由知，又，，平面，
所以平面；
由知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
可得，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
设平面的法向量为，
易知平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的二面角的平面角为，
则，
结合图像，易知平面与平面所成的二面角为锐角，
所以．
18.解：第二次排序时所有可能的，，排序及相应的值列表如下：
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
令表示事件““，表示事件““，表示事件““．
由知道．
甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为，设事件“，“，“，“，“，“，
可得，
两轮测试结果相互独立，
，
，
，
，，互斥，
．
设事件“甲在第年测试中被授予特级品酒师称号”，，，
可得．
，
，相互独立，
．
19.解：由及，
可得，
所以，
由三角形余弦定理可得：，
所以，
也即，
因为，
所以，
即；
在中，由正弦定理可得：，
在中，由正弦定理可得：，
且与互为补角，可得
因为，所以，
，且，可得为角平分线，
由可得，
所以，解得，当且仅当时取得等号，
即的最小值为，
所以；
即的面积的最小值为；
设圆半径为，则，
设，，则，
所以，
等号成立当且仅当，
所以的最小值为．
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