人教版数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数 单元自测题
一、单选题
1．在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
5．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高m，则的长度为（ ）
A．6m B．m C．9m D．m
6． 如图，在菱形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知在中，，，，那么（ ）
A． B．
C． D．
9． 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为（ ）
A．米 B． C． D．22.5米
10．如图，在中，，点和点分别是和上的点，已知，，，，则的长为（ ）
A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8
二、填空题
11．计算： ．
12．如果，那么锐角的度数为 °.
13．如图，中，，，垂直平分，，则 .
14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，，已知测角仪的高度为，则旗杆的高度约为 m.（结果精确到，参考数据：）
三、计算题
15．计算：4sin45°-
16．计算：
四、解答题
17．如图，已知在中，，，，求的长和的值
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）
20．如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为，若梯子底端A向右水平移动至点B，此时梯子顶端向上移动至点D，此时，求长度．（参考数据：，，）
五、综合题
21．如图，在中，D是上一点，，以为直径的经过点C，交于点E，过点E作的切线交于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求的长.
22．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触.如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在校门上的点A处，已知，.
（1） 度， 度.
（2）学生身高米，当摄像头安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）
（3）为了达到良好的检测效果，测温区的长不低于米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留位小数，参考数据：）
23．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活；如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点．屋檐上点．屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°， sinB＝，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα=1：.=，
∴α=30°；
故答案为：A.
【分析】设这个斜坡的坡角为α，根据坡度可得tanα=，利用特殊角三角函数值即可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=50tanα．
故答案为：A.
【分析】由题意知AC=50米，利用tanα=即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：迎水坡的坡比为：，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故答案为：A．
【分析】利用坡度比可得，即，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得∠A=∠C，即得，设，则，，可求出BE=2x，BD=2x，利用即可求解.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设CD交AB于H.
∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，
∵∠1=2∠2，
∴4∠3=90°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=45°，
∴CH=OH，
设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，
∴tan∠CDB=，
故答案为：D.
【分析】设CD交AB于H，根据等腰三角形的性质可得∠2=∠3，由垂径定理可得CH=HD，根据余角的性质可得∠1+∠2+∠3=90°，结合∠1=2∠2可得∠3=22.5°，∠1=45°，推出CH=OH，设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，然后根据三角函数的概念进行计算.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，.
故答案为：A.
【分析】直接根据三角函数的概念进行判断即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，
延长，交点处的水平线于点，
由题意得，米，米，，
在中，，
解得，
米.
故答案为：B.
【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，延长，交点处的水平线于点，在中，由求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在中，， ，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出BD=4，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】
【解析】【解答】解：根据特殊角的三角函数值知：，
故答案为：．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.
12．【答案】30
【解析】【解答】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30.
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵垂直平分，
∴
∴，即，
解得
∴，
故答案为：6.
【分析】由tanB==3，设，则，由勾股定理可得AB=x，利用线段垂直平分线的性质可得，根据建立关于x方程并解之即可.
14．【答案】10.2
【解析】【解答】解：由题意得：，，
设，
在中，，
则，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
故答案为：10.2.
【分析】由题意得：CG=AD=1.5m，AE=DF=10m，设BG=xm，根据三角函数的概念可得DG，x的值，然后根据BC=BG+CG进行计算.
15．【答案】解：4sin45°-
=
=
=0
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质化简，进而计算乘法，最后合并同类二次根式即可.
16．【答案】解：原式＝4﹣2﹣1+6×
＝﹣4﹣2﹣1+2
＝3
【解析】【分析】利用负指数幂运算法则，开方运算，零指数幂，特殊角三角函数值运算即可
17．【答案】解：在中，
∵，，，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据勾股定理可求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
18．【答案】解：
；
∵，
∴原式．
【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可．
19．【答案】解：作于．
∵，米，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【解析】【分析】先求出 四边形是矩形， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】设，则，结合，求出x的值，最后求出即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，即，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴（三角形的中位线定理），
∵，，
设，则，，
，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则.
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥EF，由等腰三角形的性质可得∠OEA=∠OAE，∠B=∠OAE，则∠B=∠OEA，推出OE∥BC，据此证明；
（2）连接OE，根据平行线分线段成比例的性质可得AE=BE，由圆周角定理可得∠ACB=90°，则EF∥AC，由平行线分线段成比例的性质可得BF=CF，则AC=2EF，根据三角函数的概念可设EF=2x，则CF=BF=3x，AC=4x，AD=BD=6x-5，接下来在Rt△ACD中，由勾股定理可求出x的值，然后根据DF=CF-CD进行计算.
22．【答案】（1）60；30
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴米；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴（米），
∴设备的最低安装高度是米.
【解析】【解答】解：（1）依题意，，
∵，.
∴，
∴；，
故答案为：；；
【分析】（1）由题意可得DG⊥AG，∠DAG=60°，∠DAC=30°，则∠CAG=∠DAG-∠DAC=30°，然后根据余角的性质进行计算；
（2）由已知条件可知AB=3.5，DF=1.5，则AG=AB-BG=2，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）易得AC=CD=3，根据三角函数的概念可求出AG的值，然后根据AB=AG+GB进行计算.
23．【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
∴，，，
在中，，，
∵，，
∴；
答：屋顶到横梁的距离约为；
（2）解：过作于，
设，在中，，
∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：房屋的高约为．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，， 再计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数计算求解即可。
