苏州市2023～2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高一数学2024.6
注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i为虚数单位，已知复数，则
A． B． C． D．2
2．
A． B． C． D．
3．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是
A．极差为10 B．中位数为7.5 C．平均数为8.5 D．标准差为
4．某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为
A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则
A． B． C． D．
6．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
7．在中，已知，则的形状一定为
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠．为了让更多年轻人走近评弹、爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇、《认母》篇、《归宗》篇．某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是
A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则
A．的最小正周期为 B．
C．的图象关于直线对称 D．在区间（，0）上单调递增
10．已知复数，，，则下列说法正确的有
A． B．若，则
C．若，则 D．若且，则
11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为AB，，，的中点，则
A．平面EFG B．平面EFG
C．点，D到平面EFG的距离相等 D．平面EFG截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设向量，，，若，则实数λ的值为________．
13．在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为________．
14．在中，已知，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点．
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面AFG．
16．（15分）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”．
（1）用数组（，）表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；
（2）分别求事件A，B，C发生的概率；
（3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率．
17．（15分）如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点，是边长为1的等边三角形．
（1）若，求线段AE的长；
（2）若且，求．
18．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，E为线段AB的中点，F为线段BC上的动点（不含端点）．记．
（1）若，求线段EF的长；
（2）若，设，求实数x和y的值；
（3）若CE与DF交于点G，，求向量与的夹角的余弦值．
19．（17分）如图，在四棱柱中，已知侧面为矩形，，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面ABCD；
（3）若三棱锥的体积为，求平面与平面ABCD的夹角的余弦值．
