神木四中2023～2024学年度第二学期高二第三次检测考试
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数X；
④某同学上学路上离开家的距离Y．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3 4
P a
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
5．函数的单调递减区间为，则（ ）
A． B．1 C．e D．
6．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68
7．已知双曲线C：，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知，则（ ）
A．8 B．5 C．2 D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（ ）
A． B．1 C．3.8 D．4.2
10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有8项 B．展开式中的常数项是70
C．展开式中各项系数之和为0 D．展开式中的二项式系数之和为64
11．如图所示，四边形ABCD为正方形，平面平面ABF，E为AB的中点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．直线BC到平面ADF的距离为
C．异面直线AB与FC所成角的余弦值为 D．直线AC与平面CEF所成角的正弦值为
12．袋中装有6个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______．
14．设随机变量，则______．
15．已知P是椭圆上的一点，A，B分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为______．
16．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则n的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数，且，为极值点．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断，是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，6，6．
（1）求，的分布列；
（2）请根据射击环数的期望及方差来分析甲、乙的射击技术．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面PAB，，，E为侧棱PA上一点，平面BCE与侧棱PD交于点F，且，DP与底面ABCD所成的角为45°．
（1）求证：F为线段PD的中点；
（2）求平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21．（本小题满分12分）
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：
分组
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
神木四中2023～2024学年度第二学期高二第三次检测考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由得，∴，故焦点为．故选B．
2．B 对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③，故选B．
3．A 根据题意可得，．故选A．
4．A 在等差数列中，，所以，所以公差．故选A．
5．B 由题意知，所以，解得．故选B．
6．C 设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达日的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知，，，．由全概率公式得．故选C．
7．C 由于，因此点A到渐近线距离为，一条渐近线方程为，有，可得．故选C．
8．D 令，则，令，则，令，则，所以，，所以，．故选D．
9．AC 两圆的圆心，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或．故选AC．
10．BC 的展开式共有9项，故A错误；展开式中的常数项为，故B正确；令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；展开式中的二项式系数之和为，故D错误．
11．ACD 由，，，有，由于E为AB中点，所以，且平面平面ABF，因此取CD中点G，分别以EF，EB，EG所在直线为x，y，z轴，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，所以，故A正确；
易知，平面ADF，平面ADF，所以平面ADF，由，，可知平面ADF，所以直线BC到平面ADF的距离为，即B错误；
易知，，所以，所以异面直线AB与FC所成角的余弦值为，即C正确；
设平面CEF的一个法向量为，，，则
令，可得，，即，，设直线AC与平面CEF所成的角为，
则，即D正确．故选ACD．
12．ACD 对选项A：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率，因为，所以事件A与事件B不相互独立，选项A正确；对选项B：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项B错误；对选项C：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项C正确；对选项D：在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为，选项D正确，故选ACD．
13．或 由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过，则直线方程为；若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为．
14． ∵随机变量服从，∴．
15．15 由题意可知，，是椭圆的两个焦点，所以，所以，即的最大值为15．
16．4 因X服从正态分布，且，则，即每个零件合格的概率为，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为，依题意，，即，令，则有，即单调递减，而，，因此不等式的解集为，所以n的最小值为4．
17．解：（1）由于，因此，
又，为极值点，于是则
（2）由（1）可知，
当或时，，当时，，
于是为极大值点，为极小值点，极大值，极小值．
18．解：（1）由题意得，解得．
，解得，
所以的分布列为
10 9 8 7
P 0.4 0.2 0.2 0.2
的分布列为
10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）得；
，
；
．
由于，，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定．
19．解：（1）证明：因为平面PAB，PA，平面PAB，所以，，
又因为，且，所以平面ABCD，∠PDA为DP与平面ABCD所成的角，
由，有，所以E为PA中点，
因为，平面ADP，平面ADP，所以平面ADP，
又因为平面BCE，平面平面，所以，所以，
所以F为线段PD的中点；
（2）解：由（1）可知AD，AB，AP两两垂直，如图所示，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，，，，
所以，，设平面PDC的法向量为，
则取，得到，
设平面PBC的法向量为，由，，
有取，，，可得，
所以，所以平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值为．
20．解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴，当时，，，所以，
综上所述，；
（2）由（1）得，
，
所以，
所以．
21．解：（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有（种）情况；
若2个全是小集团，共有（种）情况，
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为；
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为．
22．解：（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率，
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由题意知，，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
