2023~2024学年福建泉州安溪县高二上学期期中数学试卷（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系中，向量 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、在正方体 中，与向量 相反的向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、若直线 经过 ， 两点，则 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知直线 ： 与 ： 之间的距离为 ，则 （ ）
A.13
B.13或
C.7
D.7或
5、已知 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，且平面 平面 ，则向量
在 上的投影向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、在三棱锥 中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若 ，则
（ ）
A.
B.1
C.
D.
8、已知圆 ： ，点 ， ，在圆 上存在点 ，使得 ，则
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 ： ， ： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的斜率为
B. 在 轴上的截距为-2
C.若 ，则
D.若 ，则
10、若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
11、在菱形纸片 中，E，F分别为 ， 的中点，O是菱形 的中心， ， ，
将菱形纸片 沿对角线 折成直二面角，以O为原点， ， ， 所在的直线分别为x轴、y轴、z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知曲线 ： ，圆 ： ，则（ ）
A.当 或 时，曲线 与圆 没有公共点
B.当 时，曲线 与圆 有1个公共点
C.当 时，曲线 与圆 有2个公共点
D.当 时，曲线 与圆 有4个公共点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在空间直角坐标系 中，点 关于 平面的对称点的坐标为
14、圆 ： 与圆 ： 的公切线条数为 .
15、已知直线 ： 与圆 ： 交于P，Q两点，且 为正三角形，则
16、中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他
两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除ABCDEF，平面 平面 ， ，
，四边形 ， 均为等腰梯形， ，M，N，P分别为 ， ， 的中点，则
二面角 的平面角的余弦值为
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知平行四边形 的三个顶点分别为 ， ， .
(1)求直线 的方程；
(2)求平行四边形 的面积.
18、（本小题12分）
在平行六面体 中， ，
，E为线段 上更靠近 的三等分点
(1)用向量 ， ， 表示向量 ；
(2)求 ；
(3)求 .
19、（本小题12分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，P，Q，R分别是 ，
， 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)求 到平面 的距离.
20、（本小题12分）
已知圆 ： ，直线 ： .
(1)证明： 过定点.
(2)求 被圆 截得的 最短弦长.
21、（本小题12分）
已知 为圆 ： 上一动点，点 ， 为 的中点.
(1)求 的轨迹方程；
(2)若 为圆 上一动点 ，在直线 ： 上存在点 ，使得 最小，求 的最
小值.
22、（本小题12分）
如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径，C，D是圆 上的两点， ， ， 为母
线 上的一点.
(1)证明：平面 平面 .
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
根据空间向量的坐标运算求解.
由题意可得： .
故选：D.
2、
【答 案】
A
【分析】
根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.
如图所示，可知 是 的相反向量.
故选：A
3、
【答 案】
C
【分析】
利用直线斜率的计算公式求出直线的斜率，即可求得答案.
由题意直线 经过 ， 两点，
得 的斜率为 ，
由于直线的倾斜角范围为 ，
所以 的倾斜角为 ，
故选：C
4、
【答 案】
B
【分析】
应用平行线间距离公式计算即可.
因为 ，则 ，得 或 .
故选：B.
5、
【答 案】
B
【分析】
先判断 ，求得 ， ，可得 ，再根据投影向量公式求解即可.
因为 是平面 的一个法向量，
是平面 的一个法向量，且平面 平面 ，
所以得 ，则 ，
得 ， ，所以
所以 在 上的投影向量为 ，
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.
由题意得 ， ，则 的中点的坐标为 ，
直线 的斜率 .
由圆 与圆 关于 对称，得 的斜率 .
因为 的中点在 上，所以 ，即 .
故选：C.
7、
【答 案】
D
【分析】
根据向量的线性运算即可求解.
设 ，
则
，
所以 ,解得 ．
故选：D
8、
【答 案】
C
【分析】
根据题意，构造圆 ： ，由条件可得圆 与圆 相切或相交，列出不等式，即可得到结果.
如图，构造圆 ： ，当圆 与圆 有且仅有一个公共点 时， ，
即圆 与圆 的关系可以为相切或相交，所以 ，解得 .
故选：C
二、多选题
9、
【答 案】
A;C
【分析】
将直线一般式方程化为斜截式，确定直线的斜率和截距，可判断A，B；根据直线的平行的条件可判断C；根据
两直线垂直的条件可判断D.
由题意得 的斜截式方程为 ，
则 的斜率为 ， 在 轴上的截距为-1，A正确，B错误；
若 ，则 的斜率 ，得 ，C正确；
若 ，则 ，得 ，D错误，
故选：AC
10、
【答 案】
B;C
【分析】
根据向量共面定理逐项判断；
因为 ，
所以 ， ， 共面，A错误.
假设存在 ， ，使得 ，则有： 矛盾， ， 无
解，所以 ， ， 不共面，B正确.
假设存在 ， ，使得 ，则有： ，与基底要求矛盾，无解，所以
， ， 不共面，C正确.
因为 ，所以 ， ， 共面，D错误.
故选：BC.
11、
【答 案】
A;C;D
【分析】
根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D .
由题意可知： ，
所以 ，
则 ， ， ，
易知 为钝角，所以 .
综上A、C、D三项正确，B项错误.
故选：ACD
12、
【答 案】
A;C;D
【分析】
由 得 或 ，分类根据直线与圆的位置关系，判断交点个数即可.
由 ，得 或 ，
设 ： ， ： ，则 过定点 ， 过定点 ，
圆 ： 的圆心坐标为 ，半径为 ，
当 与圆 相切时，由 ，得 或 ，
当 与圆 相切时，由 ，得 或 ．
当 或 时， 与圆 相离， 与圆 相离，则曲线 与圆 没有公共点．
当 时， 与圆 相交， 与圆 相离，则曲线 与圆 有2个公共点．
当 时， 与圆 相交， 与圆 相切，则曲线 与圆 有3个公共点．
当 时， 与圆 相交， 与圆 相交，则曲线 与圆 有4个公共点．
故选：ACD
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
根据平面对称的特征求解；
关于 平面的对 称点的特征为 ， 坐标不变， 取相反数，
故所求坐标为 .
故答案为： .
14、
【答 案】
【分析】
根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外离，进而得到公切线的条数.
由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得 ，且 ，所以 ，
所以两圆 与 相外离，所以圆 与圆 的公切线的条数为 .
故答案为： .
15、
【答 案】
2或
【分析】
根据圆的标准方程，明确圆心和半径，结合正三角形的性质求得其高，利用点到直线的距离公式，建立方程，
可得答案.
由题意得 ，圆M的半径为 ，
正 的高为 ，则点M到 的距离为 .
由 ，得 或 .
故答案为： 或 .
16、
【答 案】
/
【分析】
建立合适的空间直角坐标系利用空间向量求二面角即可.
过A作 ，垂足为O，过O作 ，垂足为Q，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，故可以O为原点， ， ， 所在的直线 分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则由题意可知： ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，得 .
易得平面 的一个法向量为 ，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
故答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)2
【分析】
（1）根据 的坐标，结合两点式方程，可得答案；
（2）利用两点间距离公式以及点到直线距离公式，结合 平行四边形的面积公式，可得答案.
（1）由 ， ，则直线 的方程为 ，即 .
（2）由题意得 .
因为 到直线 的距离为 ，
所以平行四边形 的面积为 .
18、
【答案 】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据向量的线性运算即可求解；
（2）根据向量数量积的运算性质及数量 积的定义运算即可；
（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.
（1）如图，
.
（2）
,
.
（3）
.
19、
【答 案】
(1)证明见解析；
(2) ；
【分析】
（1）首先证明 平面 ，然后根据向量证明 平面 ；
（2）求解平面 的法向量，解得 ，然后根据 求解 到平面 的距离.
（1）∵ ， ， ，
∴ 平面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
， ， ， ， ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∵ ，
∴ ， 平面 .
（2）由（1）得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ， ，
得 ，
∴ 到平面 的距离为 .
20、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）将直线 整理得 ，分析求解即可；
（2）可知点 在圆 内，结合圆的性质可知：当直线 时 ， 被圆 截得的最短弦长，进而可求弦
长.
（1）对于直线 ： ，即 ，
令 ，解得 ，
所以 过定点 .
（2）由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ，
因为 ，可知点 在圆 内，
由圆的性质可知：当直线 时， 被圆 截得的最短弦长，
此时 被圆 截得的弦长为 .
21、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）相关点法求轨迹方程即可;
（2）先求对称点,再应用数形结合 得出距离和最小值.
（1）设 ， ，则 得
因为A在圆O上，所以 ，则 ，化简得 ，
故Q的轨迹方程为 .
2 （ ）如图，设圆 的圆心为 ，
设O关于 对称的点为 ，则 得 ，即 .
易得 ，则当 ，M，N三点共线时， 最小，
最小值为 .
因为 ，所以 的最小值为 .
22、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）通过证明 平面 ，得证平面 平面 ；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，利用向量法求线面角的正弦值， 解出 即可.
（1）证明：连接 .
∵ ， ，∴四边形 为菱形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：以 为原点， 的中垂线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设 ，∵直线 与平面 所成角的正弦值为 ，∴ ，
即 .
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
取 ，得 ， ，
∴平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
化简得 ，得 ，即 或 （舍去）.
所以 .
