桦甸市第一中学2023~2024学年度下学期高一年级基础知识检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A.3 B.4 C.3.5 D.4.5
3.已知正六边形，则（ ）
A. B. C. D.
4.若直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A.仅垂直平面内的一条直线 B.仅垂直平面内与相交的直线
C.仅垂直平面内的两条直线 D.与平面内的任意一条直线垂直
5.如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中，则的面积是（ ）
A.3 B. C. D.
6.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定
7.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是不共线的两个向量，，若，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A.调查某市小学生每天的运动时间
B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量
D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
10.已知向量，下列结论正确的是（ ）
A.与能作为一组基底
B.与同向的单位向量的坐标为
C.与的夹角的正弦值为
D.若满足，则
11.在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则只有一解
C.若，则为直角三角形
D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为，加入一个球型小钢珠后水面上升到了，则球型小钢珠的半径为__________.
13.将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则__________.
14.在锐角中，内角所对的边分别为为的重心，，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设是实数，复数（是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）求的最小值.
16.（本小题满分15分）
东风家具店为了解顾客购头额度（单位：元）情况，调查了10000名顾客，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示购买额度在内.
（1）为了分析顾客购头额度与年龄的关系，按购头额度从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则购买额度在内的应抽取多少名？
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17.（本小题满分15分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的最小值；
（2）已知，求边及的面积.
18.（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19.（本小题满分17分）
在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.
桦甸市第一中学2023~2024学年度下学期高一年级基础知识检测·数学
参考答案 提示及评分细则
1.D ，则有.故选D.
2.B 这组数从小到大排列顺序为：，由，可得这组数据的分位数为从小到大排列的第5个数，为4，故选B.
3.B 在正六边形中，.故选B.
4.D 若直线平面，则与平面内的任意一条直线都垂直.
5.A 根据斜二测画法知为直角三角形，，故的面积.故选A.
6.C 由正弦定理，得，解得.
因为，所以.
又因为，所以或，
故此三角形有两解.故选C.
7.A 取的中点，连接，则，则为异面直线所成的角或其补角，易求.故选A.
8.B 依题意可设的夹角为，则由题意可得，
由得，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，故选B.
9.AC 因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式；选项A和C适合采用抽样调查.
10.ACD 对于A，因为，所以不存在实数使得，所以与能作为一组基底，故A正确；
对于B，因为，所以，所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；
对于C，因为，
所以与的夹角的正弦值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，解得，故D正确.
故选ACD.
11.AD 对于选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知有两解，可知选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形或直角三角形，有；若为钝角三角形，不妨设为钝角，有，有，可知D选项正确.故选AD.
12.3 上升水柱的体积.
13.120 由题意得.
14. 记的中点为，由，可得.又由，有，有，有，有.又由为锐角三角形，有有可得.又由.令，由函数）单调递增，可得，可得.
15.解：（1），
则解得；
（2），则，
，
当时，的最小值为.
16.解：（1）因为，所以.又0.25，所以购买额度在内的频率为0.25，所以100人中购买额度在内的人数为0..
（2）样本平均数为
.
17.解：（1）因为，
所以，
即，
则，
所以（当且仅当时符号成立），则的最小值为1；
（2）由，可求得.
由（1）可知，则，在中，，可求得，
在中，由正弦定理可得：，则，
，
.
18.（1）证明：连接，
分别是棱的中点，，
平面平面平面，
分别是棱的中点，，
四边形是平行四边形，则，
平面平面平面，
平面，且平面平面，
平面平面；
（2）解：连接为中点，，
由题意，，
作于，则面，且，即三棱锥的高为，
.
19.解：（1）在正方形中，有，
因为平面面，所以，
又因为平面平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，
在中，，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为
（2）连接交于点，
在正方形中，有，
因为平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，所以，
在中，过点作于点，连接，
因为平面平面，
所以平面，所以，
则是二面角的平面角，
在中，，
则，同理可求得，
在中，，
，
则，
则二面角的大小为.
