临洮县文峰中学2023~2024学年度第二学期高一期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第三章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量.若，则（ ）
A.-1 B.1 C.-4 D.4
4.欧拉恒等式（为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得.根据欧拉公式，复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量，若，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
6.在中，角的对边分别为，且，则为（ ）
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进140米到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A.70米 B.80米 C.90米 D.100米
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.
10.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则只有一解
C.若，则为直角三角形
D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________.
13.已知，则的值为__________.
14.在平行四边形中，为的中点，若，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设是实数，复数（是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）求的最小值.
16.（本小题满分15分）
已知向量.
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
18.（本小题满分17分）
已知，角的终边过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（本小题满分17分）
在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，是线段的中点，求的长的取值范围.
临洮县文峰中学2023~2024学年度第二学期高一期中考试·数学
参考答案 提示及评分细则
1.A 因为，所以在复平面内对应的点的坐标为.故选A.
2.C ，故选C.
3.C 因为，所以，即.
4.C ，则虚部为.故选C.
5.C 因为，所以，.故选C.
6.A 因为，由正弦定理得，所以.故选A.
7.A 设塔的高度为，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故选A.
8.D ，则，则，故选D.
9.AD 设，由为实数，得，所以，故A正确；若，则，故B错误；复数不能比较大小，故C错误；设，则，故D正确.故选AD.
10.ABD 对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项不正确；
对于D选项，，故D选项正确.
11.AD 对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形或直角三角形，有；若为钝角三角形，不妨设为钝角，有，有，可知D选项正确.故选AD.
12. 则.
13. .
14.2 如图所示延长交于点为中点，
三点共线，.
15.解：（1），
则解得；
（2），则，
，
当时，的最小值为.
16.解：（1），
，
，
（2）设与的夹角为，则，
，
，
，
向量与夹角的余弦值为.
17.解：（1）由
可知，
由正弦定理，得，
即.
所以，
又，
所以；
（2）由（1）知.
所以，
又，
所以，
所以，即.
所以的周长为.
18.解：（1）因为，
所以，
所以.
（2）由三角函数的定义可得，又，
由倍角公式可得，
.
19.解：（1）因为，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以.
因为是线段的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，
所以，
又为锐角三角形，所以解得，所以，
所以，所以，
所以，即的长的取值范围是.
