【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册
第二章一元二次方程函数与不等式（能力提升）检测题
一、单选题
1．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．不等式 对于 恒成立，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
5．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
7．已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足：且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
三、填空题
9．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 .
10．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为 ．
11．若 ，则 的最小值为 .
12．已知关于x的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是 .
13．已知、均为正实数，且，则的最小值为 .
14．若正实数a，b满足，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．
16．已知关于x的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若，求不等式的解集．
17．
（1）当时，求的最大值；
（2）设，求函数的最小值.
18．解关于的不等式：．
19．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（不必说明理由）
①；②；
（2）若是函数的“区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．
20．已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
2．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
3．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的实际应用
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
8．【答案】B,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
9．【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
11．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
13．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】解：：，
：，
∵是的充分不必要条件，
∴，
∴
即
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
16．【答案】（1）解：由题意可得，和1是方程的两个实数根，
所以，
解得，，
（2）解：∵，∴，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法
17．【答案】（1）解：，
当且仅当，即时等号成立，
（2）解：由题意，设，则，
则，
当且仅当时，即时，即时取等号，
所以函数的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】解：，①时，，解集为
②时，不等式无解；
③时，，解集为
④时，不等式为，解集为；
⑤时，不等式的解集为或，
综上，时，不等式的解集是；
时，不等式的解集是或；
时，不等式的解集是；
时，不等式无解；
时，不等式的解集是．
【知识点】一元二次不等式及其解法
19．【答案】（1）解：①是，②不是
（2）解：记，，注意到，
因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.
当时，在上单调递增，且，
所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（3）解：对于任意区间，记，
依题意，在上单调递减，则.
因为，所以，
即S的长度大于的长度，故不满足性质①.
因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即，
即只需存在使得，或存在使得.
因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间".
记，先证明函数有唯一零点；
因为在上单调递减，所以在上单调递减.
若，则为的唯一零点；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
综上，函数有唯一零点，即，
已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
20．【答案】（1）解：∵不等式 的解集为 ，
∴∴
（2）解：∵不等式 在 恒成立
∴∴∴
【知识点】一元二次不等式及其解法
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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