【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册
2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．a2b＞ab2 D．
3．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．lgx＞ ＞ex B．ex＞lgx＞
C．ex＞ ＞lgx D． ＞ex＞lgx
4．若 a，b，c 为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a>b ，则ac2>bc2 B．若a
C．若a
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
6．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则. B．若则.
C．若，则 D．若，则
三、填空题
9．设 ， ， ，则M与N的大小关系为 .
10．已知，则与的大小关系为 .
11．已知函数f(x)＝ ，若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－ m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
12．已知 ，则a，b的大小关系是 ．
13．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 .
14．设 ， 则 与 的大小关系是 ．
四、解答题
15．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
16．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）x2﹣x与x﹣2；
（2）已知a，b为正数，且a≠b比较a3+b3与a2b+ab2的大小．
18．设Pn=（1﹣x）2n﹣1，Qn=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*
（1）当n≤2时，试指出Pn与Qn的大小关系；
（2）当n≥3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．
19．阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．
解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
3．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
4．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
5．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
7．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
8．【答案】A,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
9．【答案】M＞N
【知识点】利用不等式的性质比较大小
10．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
11．【答案】 ∪[1，＋∞)
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
12．【答案】1＞a＞b＞0
【知识点】利用不等式的性质比较大小
13．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
14．【答案】A≥B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
15．【答案】（1）解：设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解， 符合题意，
.
故足球单价为 60 元， 篮球单价为 90 元.
（2）解：设学校可以购买 个篮球，
由题意得：
，
即，
解得；
为整数，
最大为 116 .
故学校最多可以购买 116 个篮球.
【知识点】不等关系与不等式
16．【答案】（1）解：集合，．
或，
时，，
（2）解：若，则，
当时，，解得，成立；
当时，，
解得，
综上实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算；不等关系与不等式
17．【答案】（1）解：∵（x2﹣x）﹣（x﹣2）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1＞0；
即（x2﹣x）﹣（x﹣2）＞0；
∴x2﹣x＞x﹣2
（2）解：∵（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a3+b3﹣a2b﹣ab2
=a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）
=（a﹣b）（a2﹣b2）
=（a﹣b）2（a+b）；
∵a＞0，b＞0且a≠b；
∴（a﹣b）2＞0，a+b＞0；
∴（a﹣b）2（a+b）＞0；
即（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＞0；
∴a3+b3＞a2b+ab2
【知识点】利用不等式的性质比较大小
18．【答案】解：（1）当n=1时，Pn=1﹣x，Qn=1﹣x，则Pn=Qn；
当n=2，x=0时，Pn=1，Qn=1，则Pn=Qn；
当n=2，x＞0时，Pn=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Qn=1﹣3x+3x2，则Pn﹣Qn=﹣x3＜0，所以Pn＜Qn；
当n=2，x＜0时，Pn﹣Qn=﹣x3＞0，所以Pn＞Qn；
（2）当n≥3时，①当x=0时，Pn=Qn；
②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，
则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，
F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．
当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；
当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；
∴F′（x）＜F′（0）=0，
∴F（x）单调递减；
当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，
当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，
∴当x＞0时，Pn＜Qn．
当x＜0时，Pn＞Qn．
【知识点】利用不等式的性质比较大小
19．【答案】（1）解：依题意，得，，
要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立，
即证成立，整理得，即证，
，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”.
（2）解：因为a，b，c是三角形的三边，则，
由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，，所以原不等式成立．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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