24.3正多边形和圆人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正六边形内接于，正六边形的周长是，则的半径是( )
A. B. C. D.
2.几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：在上任取一点，连接并延长交于点；以点为圆心，为半径作圆弧分别交于，两点；连接，并延长分别交于点，；顺次连接，，，，，，得到六边形再连接，，，交于点则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，正三角形和正六边形有公共的外接圆，则这个正三角形和正六边形边长的比为( )
A. B. C. D.
4.以半径为的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
5.如图，正十二边形，连接，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前个正五边形，要完成这一圆环，还需正五边形的个数为( )
A. B. C. D.
7.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，且顶点，，，都在上，则的半径为 ．
A. B. C. D.
9.如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
10.正六边形的边长为，则该正六边形的内切圆面积为( )
A. B. C. D.
11.如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则( )
A. B. C. D.
12.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.
若一个正三角形的边心距为，则该正三角形的边长为 ；
已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是 ．
14.如图，六边形是的内接正六边形，分别以点，为圆心、长为半径作弧，在外交于点，连接若的半径为，则的长为 ．
15.把一张圆形纸片和一张含角的扇形纸片按如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长相等，扇形的半径为，那么圆形纸片的面积是 ．
16.如图，点是正五边形和正三角形的中心，连接，交于点，则的度数为______
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，六边形是的内接正六边形．
求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分．
设的面积为，六边形的面积为，求的值结果保留．
18.本小题分
如图，等边三角形内接于，为内接正十二边形的一边，，求的半径．
19.本小题分
如图，已知是的内接正三角形，点为上一动点，求证：；
如图，四边形是的内接正方形，点为上一动点，求证：；
如图，六边形是的内接正六边形，点为上一动点，请探究，，三者之间有何数量关系，并予以证明．
20.本小题分
图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形．如图，是的直径，用直尺和圆规作的内接正八边形不写作法，保留作图痕迹
21.本小题分
如图，与正六边形的边，分别交于点，，为劣弧的中点．若，求点到的距离．
22.本小题分
把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正边形．如图，的半径是，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长．
23.本小题分
刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积来近似估计的面积，求的值结果保留根号．
24.本小题分
教材习题变式如图，等腰三角形的顶角和底边相切于的中点，并与两腰，分别相交于，，，四点，其中，分别是两腰，的中点．求证：五边形是正五边形．
25.本小题分
如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形．
求的度数；
求正六边形与正方形的面积比．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接，，
多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是，
，
的半径是，
故选B．
连接，，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论．
本题考查正多边形和圆的关系．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查作图复杂作图：画正多边形，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理、正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形，属于中考常考题型．
根据圆周角定理和等腰三角形判定即可判断；证明，可判断；证明，可判断；证明即可判定．
【解答】
解：在正六边形中，，，
，
，
，故A正确；
，
，，都是等边三角形，
，，
四边形，四边形都是菱形，
，，，
，
，，故 B、D正确；
，，
，故C错误．
故选C．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的个正五边形．
先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去即可得解．
【解答】
解：五边形的内角和为，
正五边形的每一个内角为，
如图，延长正五边形的两边相交于点，
则，．
已经有个五边形，，
即完成这一圆环还需个五边形．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】此题考查了正多边形和圆，连接，是正方形，则，，
利用圆周角定理可得是的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．
【详解】如图，连接．
四边形是正方形，
，，
是的直径．
在中，由勾股定理，得，
的半径为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】如图，连接、，；
正六边形的边长为，
六边形是半径为的正六边形，
是等边三角形，
，，
，
边长为的正六边形的内切圆的半径为．
该正六边形的内切圆面积为
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
连接，，，先求出，，进而得出，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】
解：连接，，，如图所示：
由题意可得，，
，
，
，
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正多边形与圆掌握正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键连接、，根据正六边形的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据题意计算即可．
【解答】
解：连接、
六边形是正六边形，
，
又，
是等边三角形，
，
正六边形的周长直径．
故选C．
13.【答案】【小题】
【小题】
【解析】 略
略
14.【答案】
【解析】连接，，，，过点作于点易得点在上．，，易得，由勾股定理，易知由作图，易得，．
15.【答案】
【解析】如图，连接，即四边形是正方形，，，，由勾股定理得，即，解得，即正方形的边长为如图，连接，四边形是的内接四边形，四边形是正方形，，，，，的面积是，即圆形纸片的面积是．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接、、、，
五边形是的内接正五边形，
，
，
是的内接正三角形，
，
根据对称性可知，，
，
，
故答案为：．
根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，，，进而求出的度数，由圆周角定理和三角形外角性质即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，三角形外角性质以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．
17.【答案】证明：如图，连接，，，
六边形是的内接正六边形，
，
，
，
过顶点的三条对角线四等分；
解：过作于，连接，
设的半径为，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
正六边形的面积，
的面积，
．
【解析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论；
过作于，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
18.【答案】连接，，等边三角形内接于，为内接正十二边形的一边，，，，由勾股定理，易得的半径为
【解析】见答案
19.【答案】【小题】
如图，延长至，使，连接由圆内接四边形的性质知，又，是正三角形，，又，，，都为正三角形，，，≌，．
【小题】
如图，连接，，过点作交于点，，，又，≌，，．
【小题】
证明如下：如图，过点作于，在上截取，连接，，，≌，，又，，，．
【解析】 见答案
见答案
见答案
20.【答案】如图所示，正八边形即为所求．
【解析】见答案
21.【答案】连接，过点作于点由题意，易得为劣弧的中点，易得，为等边三角形．，在中，根据勾股定理，易求得，即点到的距离为
【解析】见答案
22.【答案】解：如图所示，连接，．
由切线长定理可得．
又为切线，．
三角形为外切正三角形，．
．．
在中，，
外切正三角形的边长为同理可求外切正方形的边长为，外切正六边形的边长
为
【解析】略
23.【答案】解：六边形为正六边形，
为等边三角形．
的半径为，
．
由勾股定理可求得．
．
．
【解析】见答案
24.【答案】证明：连接、，
、分别是两腰、的中点．是等腰三角形底边的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
和底边相切于的中点，
，
，
，
同理：，
，
，
即、、、、将五等分，
五边形是正五边形．
【解析】见答案．
25.【答案】解：连接，如图所示：
在圆内接六边形中，是正三角形，
，
；
设正六边形的边长为，
则三角形的边上的高，
则正六边形的面积为：，
正方形的面积为：，
正六边形与正方形的面积比：．
【解析】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键．
根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出是正三角形，继而可得为等腰三角形，即可得出答案；
设正六边形的边长为，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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