2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高二下学期5月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.某学校一同学研究温差单位：与本校当天新增感冒人数单位：人的关系，该同学记录了天的数据：
由上表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是( )
A. 与有正相关关系 B. 经验回归直线经过点
C. D. 时，残差为
4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.某同学进行投篮练习，若他第球投进，则第球投进的概率为；若他第球投不进，则第球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
6.某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为( )
附：．
临界值表：
A. B. C. D.
7.已知，，为自然对数的底数，则实数的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.年月日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从，，三种经济作物中选取两种进行种植推广通过调研得到当地村民愿意种植的概率分别为，若从当地村民中随机选取人进行交流，则其中至少有人愿意种值，且至少有人愿意种植时概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量满足，则
B. ，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
C. 若点，，，都落在直线上，则变量，的样本相关系数
D. 若事件满足，，，则有
10.已知定义域为的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数在区间上单调递增
C. 当时，函数取得极小值
D. 方程与均有三个实数根
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一东汉的许慎在说文解字中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈
在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在，对任意的，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布列如下：
若，则 ．
13.已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ．
14.骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字，，，，，现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为 ；若甲直接挑战第关时，记事件“三次点数之和等于”，“至少出现一次点”，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图是该公司年至年的年份代码和年研发投入单位：亿元的散点图，其中年份代码分别对应年份．
根据散点图，分别用模型，作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中．
根据残差图，判断模型和模型哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
根据中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司年的高科技研发投入．
附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
16.本小题分
已知函数．
若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值；
若函数在上仅有个零点，求的取值范围．
17.本小题分
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计道题进行测试，若这道题中，甲能正确解答其中的道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这道测试题中分别随机抽取题进行解答
设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18.本小题分
如图，开车从站到站有条路线甲、乙、丙路线分别为开车从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要，分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下．
若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列；
小张从这条路线中选择条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于分钟的概率为，求的值；
以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围．
19.本小题分
定义可导函数在处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间上，若函数的弹性函数值大于，则称在区间上具有弹性，相应的区间也称作的弹性区间．
若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
对于函数其中为自然对数的底数．
(ⅰ)当时，求的弹性区间；
(ⅱ)若在(ⅰ)中的区间上恒成立，求实数的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..或
13..
14..或
15..解：根据图可知，模型的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型的残差波动性很小，基本分布在的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型更适宜．
设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为，
令，则，
即预测该公司年的高科技研发投入亿元．
16..解：是函数的极值点，
，解得，
，
可知：是函数的极大值点，满足题意．．
令可得或；令可得，
所以的单调增区间为：，单调减区间为：．
函数在上仅有个零点不是函数的零点
则令，所以，
可转化为函数的图象与函数的图象有个不同的交点，
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，．
当趋近于时，趋近正无穷，因为，
所以，解得：
的取值范围是．
17..解：的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
所以，
；
设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，
则．
所以，．
因为，，
即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
18..解：的可能取值为，，，，
，
则的分布列为
若他开车经过站，则他选择的路线是甲路线或乙路线，
记选择甲路线为事件，选择乙路线为事件，则，
若他开车从站到站的总时间少于分钟，则或，
所以由全概率公式得，解得．
设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，
则
设选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，
，
则
若三条路线中只有丙路线最快捷，则
即
又，所以，即的取值范围是．
19..解：，，
．
令，解得，
所以弹性函数的零点为．
，函数定义域为．
因为，
的弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组，
Ⅰ或Ⅱ．
因对应的函数就是，
由，在上单调增，
又，的解为；
而，
在时恒正，
则在时单调递增，，故在时恒成立．
于是不等式组Ⅰ的解为；
同的解法得的解为；
因为在时，左正、右负，不可能成立．
故不等式组Ⅱ无实数解．
综上，的弹性区间．
在恒成立在恒成立，
设，则，
而，由知它在恒为正，
，在递增，．
故．
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