2023-2024学年湖北省云学名校新高考联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.中，角，，所对的边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，则下列命题中不正确的是( )
A. 存在，使得 B. 当时，
C. 当与垂直时， D. 与可能平行
7.若，对任意实数，，则“”是“”成立的( )
A. 充分且必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若函数有个不同的零点，，，，则已知，存在实数，，，满足，则( )
A. B. C. D. 与实数有关
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若为纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法正确的( )
A. 非零向量，若与共线，则
B. 非零向量满足，则
C. 在中，若，且，则为等边三角形
D. 已知单位向量满足，则
11.在长方体中，，，动点在线段上不含端点，在线段上，则( )
A. 存在点，使得平面
B. 存在点，使得
C. 的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为______．
13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为，，，且米，则雕像高为______米
14.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台在正三棱台中，侧棱，，，则侧棱与底面所成角的正弦值为______，该三棱台的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且函数在时的最大值为．
求常数的值；
当时，求函数的单调递增区间．
16.本小题分
已知复数为虚数单位．
求；
若，其中，，求，的值；
若，且是纯虚数，求．
17.本小题分
如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，．
求四边形周长的最大值；
若，求的长．
18.本小题分
在四棱锥中，平面平面，为边上一点，为中点，，，，，，．
求四棱锥的体积；
证明：平面；
证明：平面平面．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成的两条射线，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
在仿射坐标系中
若，求；
若，且与的夹角为，求；
如上图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，分别为，中点，求的最大值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由题意，
，
又，的最大值为，
所以，解得；
由得，，
令，
解得：，又，
故的单调递增区间为和．
16..解：依题意，，所以；
，
所以；
设，，，则，即，
，
由是纯虚数，则有，，
由，解得或，
所以或．
17..解：连接，因为，所以，
在中，由余弦定理得，可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以周长的最大值为；
解：依题意得，设，，
在中由余弦定理得，可得，
所以，解得，所以，
可得，所以，
在中，由正弦定理，所以，
则，
在中，由余弦定理得，
所以．
18..解：，
且，
又，
由余弦定理得，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
连接，，为等边三角形，
，，
，，，，，为直角三角形，
，
取中点，为中点，
为中位线，，且，
又，且，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
由得四边形为平行四边形，为的中点，
，又，
，在中，，为中点，
，平面，平面，，
平面，又平面，
平面平面．
19..解：因为，
所以，
所以；
因为，
所以，
，
，
因为与的夹角为，所以，解得．
依题意设，，，
则，
因为为中点，所以，
因为为中点，所以，
所以，，
因为，则
，
在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，
．
设，则，
令，得，解得舍，
所以，
则．
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