2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷
一、选择题（共50分）
1.将一枚均匀硬币抛次，设正面朝上的硬币数为，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.从位男生中选人，位女生中选人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为( )
A. B. C. D.
4.从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( )
A. B. C. D.
6.由数字，，，，，组成三位数允许重复，各位数字之和等于的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为：，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为( )
A. B. C. D.
8.某射手射击所得环数的分布列如下：
若，，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
9.动点位于数轴上的原点处，每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动个单位或者个单位的距离，且每次至少跳动个单位的距离．经过次跳动后，在数轴上可能位置的个数为( )
A. B. C. D.
10.一个不透明的袋子有个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有个黑球，个白球试验一：从中随机地连续抽取次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、非选择题（共100分）
11.已知随机变量服从参数为的两点分布，则 ______， ______．
12.已知的展开式的二项式系数之和为，则 ______．
13.如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落入，，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，，，则分别给以一、二、三等奖则某人投次小球获得三等奖的概率为______．
14.某篮球运动员一次投篮得分的分布列为：
若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为______．
15.已知集合，，，，，，，，，都有，
从中任取一元素属于的概率为______；
任取，令，则 ______．
16.某公司在年生产经营某种产品的相关数据如表所示：
年份
年生产台数单位：万台
年返修台数单位：台
年利润单位：百万元
注：年返修率．
Ⅰ从年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于元台的概率；
Ⅱ公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀现从年中随机选出年，记表示这年中生产部门获得考核优秀的次数求的分布列和数学期望；
Ⅲ记公司在年，年，年的年生产台数的方差分别为，，若，其中表示，这两个数中最大的数请写出的最大值和最小值只需写出结论
注：，其中为数据，，，的平均数
17.一次考试共有道选择题，每道选择题都有个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得分，不答或答错得零分”某考生已确定有道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
得分的概率；
所得分数的分布列和数学期望．
18.设等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
19.已知，，成等比数列，，，成等差数列，则该等差数列的公差为( )
A. 或 B. 或 C. D.
20.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为天的方案，这三种方案的回报预期如下：
方案一：风险投资，有的概率获得回报元，有的概率获得回报元；
方案二：第一天获得回报元，以后每天获得的回报比前一天多元；
方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍．
若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是( )
A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 都可以
21.已知数列中，，前项和为，则当取到最大值时， ______．
22.如表定义函数：
数列中，，，，，，，则 ______．
23.对于项数为的数列和，记为，，，中的最小值给出下列判断：
若数列的前项是，，，，，则；
若数列是递减数列，则数列也一定是递减数列；
数列可能是先减后增数列；
若，为常数，则．
其中，正确判断的序号是______．
24.已知等差数列的前项和为，且满足，．
Ⅰ求数列的通项公式及；
Ⅱ若，，成等比数列，求的最小值．
25.设，，，为，，，，的一个排列，若该排列中有且仅有一个满足，，则称该排列满足性质对任意正整数，记为满足性质的排列，，，的个数．
求，，的值；
若，求满足性质的所有排列的情形；
求数列的通项公式．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..解：Ⅰ由图表知，年年中，
产品的平均利润小于元台的年份只有年，年，
从年年中随机抽取一年，
该年生产的平均利润不小于元台的概率为．
Ⅱ由图表得，年中，返修率超过千分之一的年份只有年和年，
的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
．
Ⅲ的最大值为，最小值为．
17..解：设“可判断两个选项是错误的题目选对”为事件，
“可判断一个选项是错误的题目选对”为事件，
“不理解题意的题目选对”为事件，
，，，
得分的概率为．
可能的取值为，，，，．
；
；
；
；
．
的分布列：
．
18..
19..
20..
21..
22..
23..
24..解：Ⅰ设公差为，
由题意，得
解得，，
所以，
Ⅱ因为，，成等比数列，
所以，
即，
化简，得，
考察函数，知在上单调递增，
又因为，，，
所以当时，有最小值
25..解：由性质的定义可知：当时，由构成的排列不满足性质，故；
当时，由，构成的排列满足性质，故；
当时，由，，构成的所有排列为：，，，，，，
其中满足仅存在一个，使得的排列有：，，，，所以；
若，由，，，构成的所有种排列中，符合性质的排列有：，，，，，，，，，，，故；
由、可得：，，，，同理可得，归纳出，
证明：因为在，，，的所有排列中，若，，
从个数，，，，中选个数，从小到大排列为：，，，，其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置，
所以满足题意的排列个数为，若，则满足题意的排列个数为，
综上：，即，
所以
．
所以数列的通项公式为．
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