2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则角的度数为( )
A. B. C. 或 D.
4.已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.设样本数据，，，的均值和方差分别为和，若，则，，，的方差为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，平行四边形中，，现将沿起，使二面角大小为，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10.年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计，得到如下的频率分布直方图，则( )
注：同一组中的数据用该组区间中点值代表．
A. 图中的值为
B. 估计样本中竞赛成绩的众数为
C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过分
D. 估计样本中竞赛成绩的第百分位数为
11.已知正三棱台，，，下列说法正确的是( )
A. 正三棱台体积为
B. 侧棱与底面所成角的余弦值为
C. 点到面的距离为
D. 三棱台的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.在中，内角，，所对的边，，满足，则 ______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是______．
14.如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点，，且，则截面四边形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，且，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，点为的中点．
求异面直线和所成角的大小；
求二面角的大小．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积．
求角的大小；
设是边的中点，若，求的长．
18.本小题分
如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为．
求四棱锥的体积；
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，，，，，，，，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
请你写出柯西不等式的二元形式；
设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
已知无穷正数数列满足：存在，使得；对任意正整数、，均有求证：对任意，，恒有．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由，则，
又，则，
，则，
则
；
，
又，故．
16..解：取中点，连结，，
因为，分别为，的中点，所以，
所以或其补角为异面直线和所成角，
因为，为以为直径的圆上的点，
所以在直角三角形中，，，得，
因为点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，所以面，
又，在平面内，所以，，所以，
所以，所以异面直线和所成角的大小为；
由知，，，得面且面，
所以，又，所以为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中易知，
所以二面角的大小为．
17..解：因为，可得，即，
结合正弦定理可得，
在中，，
所以，整理得，
因为，，
故，即，
又，
所以；
因为是边的中点，，
所以，
在中，，则，
在中，，，，
由正弦定理可得，即，
所以，
所以，即，
所以，
又，，
所以，解得，
所以．
18..解：为正三角形，为中点，
，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，
，
为二面角的平面角，
，
又，，
底面为正方形．
又易得，
四棱的体积．
证明：由知，平面，平面，
，
在正方形中，易知≌，
，
而，
，
，
，
平面，
平面，
．
解：设，连接，．
平面．
为直线与平面所成的角，
可求得，，，
，
又，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19..解：柯西不等式的二元形式为：
设，，，，则，
当且仅当时等号成立．
由正四面体的体积，
得，所以，
又由柯西不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立．
证明：对，记，，，是，，，的一个排列，
且满足．
由条件得：．
于是，对任意的，
都有，
由柯西不等式得
所以
；
从而，对任意的，都有，
所以对任意，，，恒有．
第1页，共1页
