2023-2024学年河南省许昌高级中学高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，是的共轭复数，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图，空间图形是三棱台，在点，，，，，中取个点确定平面，平面，且，则所取的这个点可以是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.空中有一气球，在它的正西方点测得它的仰角为，同时在它南偏东的点，测得它的仰角为，若、两点间的距离为米，这两个观测点均离地米，那么测量时气球到地面的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.在正三棱柱中，面，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体．它由八个正三角形和六个正方形围成如图所示，若它的棱长为，则下列说法错误的是( )
A. 该二十四等边体的外接球的表面积为
B. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数，满足关系式
C. 直线与的夹角为
D. 平面
8.某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了米后到达，在处测得山顶的仰角为设山高为，若，，，在同一铅垂面，且在该铅锤面上，位于直线的同侧，则( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则可作为平面向量的一组基底
B. 若，都是非零向量，且，则
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 若，，则在上的投影向量的坐标是
10.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 直线与平面相交
C. 直线和所成的角为
D. 平面和平面的夹角的正切值为
11.已知复数，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的______心
13.厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取位师生的评分作为样本，在这个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为______．
14.如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平百内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数是虚数单位．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，点在棱上．
求证：平面；
若，点为的中点，求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．
求证：直线平面；
求证：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
在某抽奖活动中，初始时的袋子中有个除颜色外其余都相同的小球，颜色为白红每次随机抽取一个小球后放回抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为白红的初始状态记第次抽奖中奖的概率为．
求，；
若存在实数，，，对任意的不小于的正整数，都有，试确定，，的值，并证明上述递推公式；
若累计中奖次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽次获得至少一枚勋章的概率为多少？
19.本小题分
在中，，为边上一点，，为边上一点，交于．
若，，求；
若，求和的面积之差．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..垂
13..
14..
15..解：因为是纯虚数，
所以，解得；
在复平面内对应的点为，
由题意可得解得，
故的取值范围是．
16..解：证明：因为平面，平面，
所以，
因为为菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
如图，连接，则平面，
由平面，平面，平面，
得，，
故即为二面角的平面角，
在菱形中，，，
所以，
又，所以，
由点为的中点，得，
所以为等腰三角形，
在内过点作高，垂足为，则，
所以，
即二面角的余弦值为．
17..解：证明：连接交于点，连接，如图，
则为的中点，
由于是的中点，故，
平面，平面，
平面；
证明：在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
平面，平面，，
平面，又平面，
；
连接，，
，是的中点，，
，平面，平面，
又平面，，
由底面是菱形，得，
又，，平面，
平面，又平面，
，
则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
二面角的余弦值为．
18..解：，
；
因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，
综上所述，对任意的，，
又，
所以；
由题意知每抽三次至少有一次中奖，
故连抽次至少中奖次，
所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，抽一次中奖的概率为，
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为，
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为，
用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖，
则三次中奖的所有情况如下：，，，，，，，，，，
故仅三次中奖的概率为：
，
所以从初始状态下连抽次获得至少一枚勋章的概率为．
19..解：如图，因为，，所以，
因为为边上一点，，所以为中点，
又，所以，所以，
所以，
设，
则
，
，
因为不共线，所以，解得．
所以，
，
则，
所以，
，
所以，
，
所以．
如图，在中，由余弦定理得，，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，，
解得，所以，，又，
所以，
所以的面积，
的面积，
设四边形的面积为，
则和的面积之差．
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