一元二次方程 专项练习
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23八年级下·重庆·期中）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南常德·一模）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．3 D．6
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
4．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（）
－ － －
A．0 B．1 C．1.5 D．2
5．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．或 B．或1 C．1或3 D．或
9．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
12．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
13．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表：
x … 4 5 6
13 5 … 5
确定方程的解的取值范围是 ．
14．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ．
15．（23-24八年级下·山东东营·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
16．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ．
17．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ．
18．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则= ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
20．（8分）（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
21．（10分）（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）
（1）化简T；
（2）若a是方程的一个根，求T的值．
22．（10分）（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
23．（10分）（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
24．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程”，逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意；
B、，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，未知数的最高次数不是，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，可化为，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴其一次项系数为；
故选B
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据表格得：
当时，，
当时，，
∵，
∴方程的一个解最接近．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
5．D
【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解不等式组，根据题意可得，则由乘法的性质可得或，由，得到或，即方程的两个根一个大于m，一个小于n，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
∵，（）是关于的一元二次方程的两实根，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】根据方程判定，再根据等式的性质，方程两边同时除以，即可求解．
【详解】解：
当时，，方程不成立，
∴，
方程两边同时除以，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，等式的性质，分式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查方程的解．
把方程中的看成整体，根据关于x的方程的解可得或，求解即可．
【详解】∵关于x的方程的解是，，
∴方程变形为，
此方程的中或，
解得，，
∴方程的解为：，．
故选：D
9．B
【分析】根据实数是一元二次方程的根，即得出，．整体代入可得，化简即可．
【详解】将代入，得：，即，．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可．
【详解】把方程变形得到，
如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得，小正方形边长为，故得的正数解为，
即，，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解．
【详解】解：∵该方程是一元二次方程，
∴，
即；
∵关于的一元二次方程有一个根为，
故将代入方程为，
整理得：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解：，
去括号，得，
合并，得，
所以常数项是．
故答案为：．
13．或
【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．
【详解】解：由表格得：时，，时，；
时，，时，，
可得方程的解取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键．
14．6
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：把代入，得，即，
，
故答案为6．
15．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可．
【详解】解：将代入方程，得，
，
．
故答案为1.
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
即，
∴原式，
故答案为：．
17． 2 1
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足，
∴，，
∴，
∴，
∵一元二次方程的一个根是1，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；
18．2026
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，由根的定义得到，恒等变形代入代数式化简求值即可得到答案．
【详解】解：是方程的一个根，
，则，且，
，
故答案为：2026．
19．二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，．
【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【详解】去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 ，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，．
【点睛】本题考查了一元二次方程一般式：，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
20．(1)
(2)且
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题；
（2）根据一元二次方程的定义可以解答本题
【详解】（1）解：，
如果此方程是一元一次方程，
则，
解得：，
即时，此方程是一元一次方程；
（2）解：，
如果此方程是一元二次方程，
则，
解得，且，
即且，方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．
21．(1)
(2)13
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）利用乘法公式进行计算即可；
（2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴．
22．
【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案．
【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根，
∴．
，
∴代数式的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．
23．类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
（1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解；
（2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案．
【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则，
，
把代入方程，得：，
故答案为：；
【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，故所求方程为．
24．(1)是勾系一元二次方程；
(2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键．
【详解】（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面积为2．
