浙教版2023-2024学年第二学期八年级期末考试模拟卷
数 学
满分120分
一、单选题（共30分）
1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
4．如图，在中，于点，于点．若，，且的周长为40，则的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
7．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．若最简二次根式和可以合并，则 ．
12．已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则 ．
13．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ．
14．已知是方程的一个根，则实数c的值是 ．
15．如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是 ．
16．如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点．
(1)求证：；
(2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长．
19．（8分）对九年级某班学生进行体育测试，考试结束后，把得到的成绩（均为整数分，满分10分）进行整理，绘制了如图1所示的条形统计图和如图2所示的不完整的扇形统计图．
(1)该班的总人数为______，______；
(2)直接写出该班学生成绩的众数、中位数，并求出平均数；
(3)若该班转来一名新同学，此同学经过补测，把得到的成绩与原来的成绩合并后，发现成绩的中位数变大了，求这名同学的成绩．
20．（8分）已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)求的面积．
21．（10分）如图，在四边形中，对角线相交于点 O， ，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当平分时，求四边形的周长．
22．（10分）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
23．（12分）阅读材料，并回答下列问题．
材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，，我们称与互为有理化因式、与互为有理化因式．
材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．
问题：
(1)的互为有理化因式是______；分母有理化_____；
(2)与是否是互为有理化因式？并说明理由；
(3)化简：
24．（12分）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．
(1)求直线的表达式；
(2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围；
(3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
2．C
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，等面积法，平行四边形的面积与周长的计算，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
由平行四边形的性质与等面积法可得：，解方程组，从而可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
由等面积法可得：
又平行四边形的周长为40，
把①代入②得：，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】此题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内随的增大而减小对，，对的大小关系做出判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴在每个象限内随的增大而减小，
∵点，，在第一象限双曲线上，，
∴．
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则和夹逼法是解题的关键．先化简后，再根据即可得到答案．
【详解】原式
∴，
∴
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、当时，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、当时，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，，
，平行四边形是矩形，故C符合题意；
D、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得到动力臂的取值范围．
【详解】阻力和阻力臂的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴阻力和阻力臂的函数关系式为，
∴，
∴，
∴当时，，
∴小明想使动力不超过，则动力臂，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形的面积公式．通过条件可以得出，从而得出，，得到；由正方形的性质就可以得出；设，由勾股定理得到，表示出，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】解：四边形是正方形，
，．
等边三角形，
，．
．
在和中，
，
∴，
，
，故①正确；
，
，
即，
，故②正确；
设，由勾股定理，得
，，，
，
，③错误；
，，
，
，
，
，故④错误；
，
，
，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义理解，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式和可以合并，得出和是同类二次根式，则，求解得出答案即可．
【详解】解：∵最简二次根式和可以合并，
∴和是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查算术平均数的意义和求法，根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得：．
故答案为：．
13．6
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
14．2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值．
【详解】解：把代入，
可得出，
解得：，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识；连接，由折叠的性质易得，则；设，则，，由勾股定理建立方程即可求得x，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
在矩形中，，，；
为中点，
∴；
由折叠的性质得：，
；
，
，
；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
在中，由勾股定理得；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，理解面积与k的关系是解题的关键；
设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可．
【详解】解：设，
则，
作轴，交反比例函数的图像于C，
，
，
作轴，交反比例函数的图像于D，
，
的面积是，
，
，
，
，
，或
，
．
17．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
18．(1)见解析
(2)14
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证；
（2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
又∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵四边形的周长为12，即，
∴，
∴，，
又∵，
∴平行四边形ABCD的周长．
19．(1)40，10
(2)9，，
(3)9分或10分
【分析】本题主要考查了中位数、条形统计图和扇形统计图等知识点，根据条形统计图和扇形统计图得到所需信息是解答本题的关键．
（1）将每个得分的人数相加即可求得总人数，求得6分学生所占的百分比即可求得m的值；
（2）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解即可；
（3）根据中位数的定义求出原来成绩的中位数，进而可得合并成绩后第21名的成绩大于8.5分，从而可得答案．
【详解】（1）解：该班的总人数为；
6分学生所占的百分比为：，即：．
故答案为：40，10．
（2）解：这组数据9分出现次数最多，则众数为9；
这组数据的中位数为数据从小到大排列后的第20和第21个数据的平均数8分和9分，中位数为；
这组数据的平均数为：．
（3）解：将原来的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第20名和第21名的成绩为8分和9分，中位数为8.5，
该名同学补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数，成绩的中位数变大了，第21名的成绩大于8.5分，则这名同学的成绩为9分或10分．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握交点的求法是解题的关键．
（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（2）求得直线与y轴的交点，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：由，解得：或，
；
（2）如图，设与y轴交于点C，
当时，，
，
．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，等角对等边等等：
（1）证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，进而证明四边形是菱形，则，利用勾股定理得到，则四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
22．(1)该跳绳销售量的月增长率为；
(2)该跳绳的售价应定为50元/条．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案．
【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该跳绳销售量的月增长率为；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该跳绳的售价应定为50元/条．
23．(1)，
(2)是，见解析
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
（1）根据互为有理化因式以及分母有理化的定义进行逐个作答即可；
（2）求出两个式子的积，再结合互为有理化因式的定义，即可得到答案；
（3）根据阅读材料，每个项都进行分母有理化，再代入然后合并即可．
【详解】（1）解：∵
∴的互为有理化因式是；
∵
∴分母有理化；
故答案为：，
（2）解：与是互为有理化因式，理由如下：
，
与是互为有理化因式；
（3）解：∵
以此类推
．
24．(1)
(2)
(3)直线l的表达式为或
【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围；
（3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式．
【详解】（1）解：，，，
；
；
设直线解析式为，
把两点坐标分别代入得：，
解得：，
即直线解析式为；
（2）解：，
；
由于M、N两点在双曲线上，
当时，；当时，；
即；
直线向下平移m个单位后的解析式为，
点M、N在直线上，
，
解得：，
所以m的取值范围为；
（3）解：设直线l解析式为，其中n为正数，
设点P的坐标为，
由勾股定理得：，；
为等边三角形，
，
，
由，整理得：，
把它代入中，整理得：，
解得：，
则，
所以直线l的表达式为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性．
