2023-2024沪科版八年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．正五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
4．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90 ，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
6．下列计算结果，正确的是（ ）
A． ＝ B．3 ＝3、
C． × ＝ D． ＝
7．如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．为了了解2019年石家庄市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩。下列说法正确的是（ ）
A．2019年石家庄市九年级学生是总体
B．每一名九年级学生是个体
C．1000名九年级学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
10．如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是
A．5 B．4 C．3 D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 =
12．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，连结AC，按以下步骤作图：分别以点C，B为圆心，以BC的长为半径作弧，两弧相交于点P，连结BP与CP，则∠ACP的度数为 ．
14．由5个整数组成的一组数据，中位数为4，将它们从小到大排列，如果排列后这组数据的众数是6，那么这5个整数的和最大是 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为 ．
16．在平而直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，如图所示，依次作正方形 ，正方形 ，正方形 ，正方形 ，……点 ， ， ， ……在直线l上，点 ， ， ， ……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．为迎接杭州亚运会，学校举办“亚运会知识竞赛”，初赛共道题，每题分，小乘从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图中的值为 ▲ ，补全条形统计图；
（2）求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
（3）如果初赛成绩在分或分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的位同学中有多少同学可以参加复赛．
18．已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC= +1，BC= ﹣1．求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
19．如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB=13，BD=10，求CE的长．
21．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．
（1）求证；
（2）如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．
（3）如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是 ；
②图2中与的数量关系是 ；四边形的形状是 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中；
当为等腰三角形时，请直接写出的长；
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点O，A，D在同一直线上），边与边相交于点E，此时，是等边三角形．
（1）求线段的长；
（2）求重叠部分的面积；
（3）点N在轴上，点M在直线上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
25．如图，已知函数 的图像与 轴交于点A，一次函数 的图像经过点 ，与 轴以及 的图像分别交于点 ，且点D的坐标为 ．
（1）则 ， ， ；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）在 轴上是否存在点P，使得以点 为顶点的三角形时直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024沪科版八年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．正五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的外角和为360°.
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和为360°，据此解答.
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数不为负数列式计算即可.
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝130°，
故答案为：C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得出∠A+∠B＝180°，即可求解∠B的度数，再利用平行四边形的邻角互补求得答案即可。
4．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90 ，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4．
即BN=4．
故答案为：C．
【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
5．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2＋BC2＝AB2，
即：x2＋32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故答案为：B.
【分析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程求解即可。
6．下列计算结果，正确的是（ ）
A． ＝ B．3 ＝3、
C． × ＝ D． ＝
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项不能合并，所以A选项不符合题意；
B、 ，所以B选项不符合题意；
C、 ，所以C选项符合题意；
D、 为最简二次根式，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法，逐项判断即可。
7．如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=∠B=90°，BC=AB=DC=AD，
∵点E、F、H分别是、、的中点，
∴CF=BE，
∴△BCE≌△CDF（SAS），同理可得△ADH≌△DCF，
∴∠FDC=∠BCE，
∵∠ECD+∠BCE=90°，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
∴，同理可得DF⊥AH，故①正确；
∵，H为中点，
∴，故④正确；
∵，
∴GK=DK，
∴AH为DG的垂直平分线，
∴，故②正确；
∴∠GAD=2∠DAH，
∵△ADH≌△DCF，
∴∠CDF=∠DAH，
∵DH=GH，
∴∠HGD=∠GDH，
∴∠CHG=∠HDG＋∠HGD=2∠CDF，
∴，故③正确；
故答案为：D
【分析】连接AH，先根据正方形的性质结合三角形全等的判定得到△BCE≌△CDF，△ADH≌△DCF，再根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可判断①和④；接着运用垂直平分线的判定与性质得到，即可判断②；最后根据等腰三角形的性质即可判断③。
8．如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴是等边三角形，∠FCO=∠FOC
∴∠COB=∠OCB=∠CBO=60°
∴∠FCO=∠FOC=30°
∴EF⊥OB
∴OM=CM，FB⊥OC，所以①正确；
由①可知，FB平分∠OBC，∠BOE=∠BCD=90°
∴∠CBO=∠MBC=30°
又∵是等边三角形
∴OB=BC
∴，所以②错误；
∵FO=FC=OE，∠FOC=∠EOA
∴
∴AE=CF
∴DF=BE
又∵DC//BE
∴四边形是平行四边形
∵
∴BE=BF
∴四边形是菱形 ，所以③正确；
设OE=x，则在含30°角的中，可得BE=2x
∴BO==
又在含30°角的中，可得OM=BO=
∴MB==
∴MB：OE=：x=3∶2，所以④正确.
所以正确答案为：①③④.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，得出OB=OC，∠BCD=90°；
根据线段的垂直平分线的性质，可得OM=CM，FBOC；
根据等边三角形的判定和性质，得出；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形；
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形；
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角的直角三角形斜边是30°角的对角的2倍，以及勾股定理可以得出MB和OE的值，最后算出MB：OE的值即可.
9．为了了解2019年石家庄市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩。下列说法正确的是（ ）
A．2019年石家庄市九年级学生是总体
B．每一名九年级学生是个体
C．1000名九年级学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体
【解析】【解答】解：A、2019年石家庄市九年级学生学业水平考试的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、每名学生学业水平考试的数学成绩是个体，故B不符合题意；
C、从中随机抽取的1000名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是1000，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
10．如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是
A．5 B．4 C．3 D．0
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ．
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
为 的中点，
也正好为 中点，
即在 的运动过程中， 始终为 的中点，
所以 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．
，
，即 的移动路径长为3．
故答案为： ．
【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．再求出 的长，运用中位线的性质求出 的长度即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 =
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
12．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知
∵∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6是六边形六个内角所对应的六个外角
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，
故填： 360°．
【分析】求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，即可作答。
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，连结AC，按以下步骤作图：分别以点C，B为圆心，以BC的长为半径作弧，两弧相交于点P，连结BP与CP，则∠ACP的度数为 ．
【答案】15°或135°
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题目步骤补全作图如下：
∵菱形ABCD，∠ABC=30°，
∴∠BCD=150°，
∴∠ACB=75°，
①当点P在BC上方时，
∵BP=PC=BC，
∴△BPC为等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=75°-60°=15°；
②当点P'位于BC下方时，
∵BP'=P'C=BC，
∴△BP'C为等边三角形，
∴∠P'CB=60°，
∴∠ACP'=∠ACB+∠P'CB=75°+60°=135°，
综上所述，∠ACP的度数为15°或135°.
故答案为：15°或135°.
【分析】首先根据题目条件作出完整的图形，由菱形性质可求得∠ACB=75°，再分两种情况：①当点P在BC上方时，∠ACP=∠ACB-∠PCB；②当点P'位于BC下方时，∠ACP'=∠ACB+∠P'CB，利用等边三角形性质分别求得∠PCB和∠P'CB为60°，代入计算即可求解.
14．由5个整数组成的一组数据，中位数为4，将它们从小到大排列，如果排列后这组数据的众数是6，那么这5个整数的和最大是 ．
【答案】21
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵5个整数从小到大排列后，中位数是4，
∴前两个数据为2和3，
又∵排列后这组数据的众数是6，
∴这组数据为2，3，4，6，6时，和最大，
∴这5个整数的和的最大值=2+3+4+6+6=21.
故答案为：21.
【分析】根据5个整数从小到大排列后，中位数是4，及众数为6，易得当这组数据为2，3，4，6，6时，和最大，再把所有数据相加即可求得和的最大值.
15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为 ．
【答案】10+5
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝ AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴ ．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝ ∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值10+5 ．
故答案为：10+5 ．
【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得 ．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
16．在平而直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，如图所示，依次作正方形 ，正方形 ，正方形 ，正方形 ，……点 ， ， ， ……在直线l上，点 ， ， ， ……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据根据题意可得 ， ， ，
所以可得正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
所以前 个正方形对角线的和为
=
故答案为 .
【分析】本题考查学生的逻辑推理能力，结合勾股定理，探索图形的规律
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．为迎接杭州亚运会，学校举办“亚运会知识竞赛”，初赛共道题，每题分，小乘从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图中的值为 ▲ ，补全条形统计图；
（2）求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
（3）如果初赛成绩在分或分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的位同学中有多少同学可以参加复赛．
【答案】（1）解：；成绩为70分的有人，
补全条形统计图如下：
（2）解：（分），
这组数据的平均数是分；
这组数据中，分出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为分；
将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是分，，
这组数据的中位数为分
（3）解：根据题意得：（人），
则参加复赛的同学大约有人．
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵a%=1-20%-10%-15%-30%=25%，
∴a=25，
∵60分的人数是2，占总数的10%，
∴抽取的学生人数为2÷10%=20，
∴成绩为70分的有 （人）
【分析】（1）扇形统计图的百分比之和为100%，依次计算出图中a的值；利用条形统计图中60分成绩人数和扇形统计图中对应百分比，计算出抽取的同学人数，进而计算出成绩为70分的学生人数，补全条形统计图；
（2）根据平均数、众数、中位数定义分别计算即可；
（3）根据抽取的部分同学中90分或90分以上同学所占的比例，估算出320位同学进入复赛的人数。
18．已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC= +1，BC= ﹣1．求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
【答案】（1）解：S△= AC BC= ×（ +1）（ ﹣1）=3
（2）解：由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=（ +1）2+（ ﹣1）2=16，即AB=4
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式直接计算即可；（2）根据勾股定理来求AB的长度即可．
19．如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得：，E是边的中点得：，证明得：，又，即可得到四边形是平行四边形；
（2）根据四边形是平行四边形得：，，由勾股定理得：，，最后再用勾股定理得：.
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB=13，BD=10，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴OB=BD=5，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，AO===12 ，
∴AC=2AO=24；
∵S菱形ABCD=·AC·BD=AB·CE，
∴×24×10=13×CE，
∴CE=，
答：CE的长为.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形， 根据AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质可得 OB=BD=5，∠AOB=90°，根据勾股定理得AO==12 ，则AC=2AO=24，根据S菱形ABCD=·AC·BD=AB·CE， 可求得CE=。
21．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点D的坐标为（a，4），
∵A（-3，0），B（3，0）
∴AB=6，
∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，
∴0-a=6，
∴a=-6，
∴点D（-6，4）
∵点E为线段OD的中点，
∴点E的坐标为 ，
（2）解：存在点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形
∵C（0，4），D（-6，4），E（-3，2），
∴当点N与点D为对角顶点时，N(3，2)；
当点N与点C为对角顶点时，N(-9，2)；
当点N与点E为对角顶点时，N(-3，6)；
∴点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AB=CD，再利用点A、B、C的坐标和两点之间的距离公式求出点D的坐标，再利用中点坐标公式求出点E的坐标即可；
（2）分类讨论，再利用平行四边形的性质求解即可。
22．如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．
（1）求证；
（2）如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．
（3）如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长．
【答案】（1）证明：如图所示，延长AM交BN于D点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，在AD上截取，连接CH，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴ ；
（3）解：
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）∵，
∴
易证：，
∴
∵
∴
由（2）知：，
∴
∵
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
【分析】（1）延长AM交BN于D点，利用“SAS”证明，得到，最后根据三角形内角和定理，即可得证；
（2）在AD上截取AH=BD，连接CH，利用“SAS”证明，得到，进而证明：是等腰直角三角形，得到，，即可得到结论；
（3）根据勾股定理求出AM和AB的长，然后利用全等三角形的性质和等面积法求出AD和BN的长，再利用勾股定理以及第（2）问中的结论，证明为等腰直角三角形，即可求出DE的长.
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是 ；
②图2中与的数量关系是 ；四边形的形状是 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中；
当为等腰三角形时，请直接写出的长；
【答案】（1）正方形；；平行四边形
（2）解：四边形的形状可以是菱形，
如图3，连接，，
，，，
，，，
将三角板沿方向平移，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
；
（3）解：①当时，为等腰三角形，如图，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的判定与性质；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，∠B=∠D=90°，AB=BC，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形.
∵AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形.
故答案为：正方形.
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵△A′C′D′是由△ACD平移得到的，
∴AA′=CC′，CD=C′D′，CD∥C′D′，
∴C′D′=AA′，C′D′∥AB，
∴四边形ABC′D′为平行四边形.
故答案为：AA′=CC′，平行四边形.
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠DAC=45°，∠B=∠D=90°，AB=BC，则∠BAD=90°，然后根据正方形的判定定理进行解答；
②由正方形的性质可得AB=CD，AB∥CD，根据平移的性质可得AA′=CC′，CD=C′D′，CD∥C′D′，则C′D′=AA′，C′D′∥AB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）连接AD′、BC′，由题意可得AC=8，∠BAC=60°，BC′=4，由平移的性质可得CD=AB=C′D′，CD∥AB∥C′D′，推出四边形ABC′D′为平行四边形，当BC′=AB=4时，四边形ABC′D′为菱形，易得△ABC′为等边三角形，得到AB=AC′=BC′=4，据此可得CC′的值；
（3）当BC′=CC′时，△BCC′为等腰三角形，此时有∠BCC′=∠CBC′=30°，则∠AC′B=60°，推出△ABC′为等边三角形，据此求解.
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点O，A，D在同一直线上），边与边相交于点E，此时，是等边三角形．
（1）求线段的长；
（2）求重叠部分的面积；
（3）点N在轴上，点M在直线上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
，
（2）解：过点B作于点H，
∵四边形是平行四边形，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
∴的面积为，
（3）点M的坐标为，，．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(3)作轴交于点F，
∵，是等边三角形，
∴，，即，
∵，
∴，
以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，由以下3种情况：
①以BC为边长时，如图：
此时M与A重合，N与O重合，
∵，
∴；
②以BC为边长时，如图：作轴交于点G，延长CA交y轴与点K，可知：，
∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
③以BC为对角线时，如图：作轴交于点P，
同理：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
综上所述：点M的坐标为，，．
【分析】（1）通过证明，即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质求出AH的长，由三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行三角形的性质，列出方程即可求解。
25．如图，已知函数 的图像与 轴交于点A，一次函数 的图像经过点 ，与 轴以及 的图像分别交于点 ，且点D的坐标为 ．
（1）则 ， ， ；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）在 轴上是否存在点P，使得以点 为顶点的三角形时直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；3；-1
（2）解：由直线 可得与 轴交点
∵
∴
（3）解：存在
情况1：过点D做DP垂直于x轴，此时P点坐标为（1，0）
情况2：过点D做直线BD的垂线 ，交x轴于点 ，如图所示
设点 的横坐标为
∵
∴ ，
由勾股定理得：
∵
∴ ，
在 ，由勾股定理得：
∵
∴
∴
解得：
坐标为（7，0）
综上，所有满足P点的坐标为（1，0），（7，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）将D 代入一次函数 中
∴
将点 和点D（1，2）代入一次函数 中
得 ，解得
∴
【分析】（1）将D 代入一次函数 中，即可求出n的值，再将 、D分别代入 中，用待定系数法，求解二元一次方程组，即可得到k、b的值；（2）从图可知， ，先求出A、C点的坐标，可求出S△ABD和S△BOC，即可求出S四边形AOCD的值；（3）画出图像，分类讨论，当 时，可求得P点的坐标，当PD⊥DC时，利用勾股定理可求出点P的坐标．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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