2023-2024学年江西省南昌十中高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.为了得到的图象，只要将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
3.下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
4.向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
5.下列函数中，周期为且在上单调递增的函数是( )
A. B.
C. D.
6.如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.平行四边形中，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数已知，，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是( )
A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影为
C. D. 的最大值为
10.函数的部分图象如图所示，则下列正确的是( )
A.
B. 函数为奇函数
C. 若，则
D. 函数的图象关于点成中心对称
11.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，，，则符合条件的有两个
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为的重心，且，则______．
13.计算： ______．
14.在中，，，是的外心，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是方程的两个实数解．
求的值；
若为第二象限角，求的值．
16.本小题分
已知向量，满足，，且．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则．
如图，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．
如图，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，．
利用的结论，用，表示；
设，，求的最小值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：，是方程的两个实数解，
，由两边平方得：，
代入，则，即，满足，
则；
为第二象限角，
．
16..解：已知向量，满足，，且，
则，
则，
则，
又，
，
，
，
；
由题意可得，
，
则与的夹角的余弦值为．
17..解：由题意可得，
又，
所以，
故，
因为，
所以，
所以，
故．
已知，
则，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以．
18..解：猜想：，
证明：因为，所以，
因为，，所以；
若，，则，，
因为、、三点共线，设，
则，
因为、、三点共线，设，
则，
因为与不共线，所以，解得，
所以；
因为，，
所以，，
所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，
因为，，所以，，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
19..解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
第1页，共1页
