2023-2024学年广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学高二（下）质检数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下求导正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 决定系数越大，模型的拟合效果越好
B. 若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量平均增加个单位
3.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
4.袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
5.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若确定，则当时，有最小值
C. 若，，则当或时，取得最大值
D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量的方差，则
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 从装有大小、形状都相同的个红球和个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D. 若随机变量服从二项分布，则的分布列可表示为，，，，，
10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法一书中就有出现，比欧洲早年发现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A. 第行所有数之和为：
B. 第行中从左到右第个数与第个数的比为：
C.
D. 由“除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为：
11.已知函数，下列选项正确的是( )
A. 的最大值为
B. 有唯一的零点
C. 若时，恒成立，则
D. 设，为两个不相等的正数，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知，之间的一组数据：
若与满足经验回归方程，则此曲线必过点______．
14.托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率，假设小红口袋中有个白球和个红球，小兰口袋中有个白球和个红球，现小红从自己口袋中任取个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取个球，已知小兰取出的是个红球，则小红从口袋中取出的也是个红球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的倍，求：
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中所有的有理项．
17.本小题分
高二理科班有名同学参加某次考试，从中随机抽选出名同学，他们的数学成绩与物理成绩如表：
数学成绩
物理成绩
数据表明与之间有较强的线性相关性．
求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩；
在本次考试中，规定数学成绩达到分为数学优秀，物理成绩达到分为物理优秀．若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有人，请你在答卷页上填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析数学优秀与物理优秀有关系？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
参考公式及数据：，，，，，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
18.本小题分
某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．
设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为元个已知每个质检员每月的工资为元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
19.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论的单调性；
若在定义域内有两个极值点，，求证：．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：函数的导数为．
令，解得，．
由，得，由，得或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．
当变化时，，的变化情况如下表：
极小值
，，．
在区间上的最大值为，最小值为．
16.解：的展开式中第项为，
所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，
所以，
解得或舍去，
由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数最大的项为第项，即；
由可知，，，，，，，，，
当时，，，
所以展开式中所有的有理项为和．
17.解：由表中数据可得，，
，，
，
故线性回归方程为，
当时， 分，
该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩分．
列联表如下：
物理优秀 物理不优秀 合计
数学优秀
数学不优秀
合计
，
依据小概率值的独立性检验，数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过．
18.解：记“任取一件产品为次品”为事件，则，
记“该产品仅有一个电子元件是次品”为事件，，
，．
设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，则，，，，
，
，
，
，
则的分布列为：
；
若选方案一，则企业每月支出质检员工资共元；
若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计，
若，则，
所以当，且时，选方案一；当，且时，选方案二．
19.解：由题，函数的定义域为，
当时，，则，
所以，，即切点为，
所以函数在处的切线方程为：，
即；
由题意得：的定义域为，
令，，
当，即时，恒成立，即，
所以在上单调递减，
当，即时，
令，解得：，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，
在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，
在上单调递增；
证明：因为在定义域上有两个极值点，，
由知，且，是方程的两个不等实根，
则，
，
设，则，
因为，所以，则，
则在上为减函数，
所以，
即．
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