2023-2024学年北京市日坛中学高二下学期第三次月考（6月）数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则
A. B. C. D.
2.若，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.学校要邀请位学生家长中的人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，随机变量的分布列如下所示，那么，当在内增大时，的变化是( )
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
7.从这本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生每人一本如果甲不得读物，则不同的分法种数为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
9.“”是“函数在区间上为单调增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域是 ．
12.若的展开式中的常数项为，则常数的值为 ．
13.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，则 ．
15.已知，为正实数，直线与曲线相切，则与满足的关系式为 ．的最小值为 ．
16.已知函数其中若，则函数的值域是 ；若函数有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合在；“”是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．
当时，求；
若______，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求在区间上的最小值和最大值；
若，求证：在处取得极小值．
19.本小题分
为方便，两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从，两地区分别随机抽样调查了名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成组：，，，整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
满意程度评分
满意程度等级 不满意 满意 非常满意
从地区随机抽取名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；
假设两地区乘客的评分相互独立，从地区与地区名随机抽取名乘客，记事件为“抽取的名乘客中，至少有名乘客的满意程度等级是满意或非常满意”，估计事件的概率；
设为从地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，为从地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，为从，两地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由．
20.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上恒成立，求的取值范围；
试比较与的大小，并说明理由．
21.本小题分
已知集合，且中的元素个数大于等于若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.当时，，而，
所以，则或．
选：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为．
18.解：当时， ，则 ，
在 上 ，即 递增，
所以最小值为 ，最大值为 ．
由题意 ，则 ，
令 ，则 ，且 ．
所以 ，即 在 处有递增趋势，
综上，若 且 无限趋向于，
在 上 ， 递减，
在 上 ， 递增，
所以 在 处取得极小值．
19.由频率分布直方图知，，解得，
则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为；
从地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为；
从地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为；
则；
，理由如下：，
，
因为，两地区人数比为，则，
则，，则．
20.解：当 时， ，
，
所以曲线 在点 处切线的斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 即 ．
在区间 上恒成立，即 ，对 ，
即 ，对 ，
令 ，只需 ，
， ，
当 时，有 ，则 ，
在 上单调递减，
符合题意，
当 时，令 ，
其对应方程 的判别式 ，
若 即 时，有 ，即 ，
在 上单调递减，
符合题意，
若 即 时， ，对称轴 ，又 ，
方程 的大于的根为 ，
， ，即 ，
， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增， ，不合题意．
综上， 在区间 上恒成立，实数 的取值范围为 ．
由知，当 时， ，在区间 上恒成立，
即 ，对 ，
取 代入上式得 ，化简得 ．
21.解：是“关联的”关联子集有
是“独立的”
记集合的含有四个元素的集合分别为：
，，，，
．
所以，至多有个“关联子集”．
若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则
同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”．
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．
所以一定不是“关联子集”
同理一定不是“关联子集”．
所以集合的“关联子集”至多为．
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
所以都是“关联子集”
所以有，即
，即．
，即，
所以．
所以是等差数列．
不妨设集合，，且．
记．
因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．
假设结论错误，即不存在，使得
所以任取，，因为，所以
所以
所以任取，
任取，
所以，且中含有个元素．
若，则必有成立．
因为，所以一定有成立所以．
所以
，，
所以，所以，有矛盾，
若，
而中含有个元素，所以
所以，
因为，所以．
因为，所以
所以
所以，矛盾．
所以命题成立．
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