八 年 级 期 末 学 业 质 量 检 测 冲 刺 卷
数 学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是 ………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是………………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是……………………（ ）
A． B．1，2，3 C．5，7，8 D．
4．如图，在中，的平分线交于点，若，
，则的长…………………………………………（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
甲 乙 丙 丁
平均分
方 差
5．甲、乙、丙、丁四位同学竞选参加某项比赛活动，他们的竞选成绩统计如下：
最佳人选应该是…………………………………………………………………………（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是…………（ ）
A． B． C．且 D． 且
7．已知，是方程的两个实数根，则的值是…………（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025
8．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为………………………………………… ( )
A．9 B．8 C．7 D．6
9．小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是……………………………………………………………………………………（ ）
A．或小时 B．小时 C．小时 D．或或小时
10．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点N，交于点F，作交于点M，则 …………………………………………………（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．计算： ．
12．已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是 ．
13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
14．如图，矩形中，，，为边上一动点，以为边构造等边（点位于下方），连接，则
①当时， ；
②点在运动的过程中，的最小值为 ．
三．（本答题共9题，满分90分）
15．（8分）(1)计算: (2)解方程: .
16．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．
17．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．
(1)探索与的位置关系，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
18．（8分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
19．（10分）学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）；
信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表：
年级 七 八 九
相应人数 10 16 14
平均数
信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79．
根据以上信息回答下列问题：
(1)抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ；
(2)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
(3)求被抽取40名学生的平均测试成绩．
20．（10分）如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为．
(1)若围成的花圃面积为，求的长．
(2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
21．（12分）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．
22．（12分）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a
(2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
23．（14分）已知正方形 ，点 分别在边 、上，连接 ，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接，求证： ；
(3)如图3，在 （2）的条件下，连接 交 于点，过点 作 于点 ，交的延长线于点 ，若 ，，求 的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C C D C B A D
二、填空题
11．/ 12．或 13．49 14．45
14.解析：解：如图所示，连接交于O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
当时，则，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴点F在直线上运动（直线与的夹角为30度），
∴当时，有最小值，
∴此时，
故答案为：45；．
15．(1)原式=9；
(2)
解得:
16．（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得或，
∵此方程有一个根大于0且小于1，
∴，
∴．
17．（1）解：．理由如下，
理由如下：由题意，
，，，
∴，
∴，即；
（2）解：∴
.
18．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
19．（1）由题意可知，抽取的40名学生测试成绩从小到大排列、，
故答案为：72；
（2）（人）；
答：该校初中三个年级496名学生中优秀的学生约为124人；
（3）（分），
答：被抽取40名学生的平均测试成绩为分．
20．（1）解：设垂直于墙的边长为，根据题意得，
则，
解得，，
当时，；当时，．
墙可利用的最大长度为，舍去，
答：的长为．
（2）不能围成这样的花圃．
理由：依题意可知，即，
，
∴方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
21．（1）解：根据题意知，
所以，
∴的面积为；
（2）∵，
∴
∴，；
∴．
22．（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人，
∴该景区5月份的游客人数为万人，
∴6月份的游客人数为万人．
∴五月的人数为万人，六月的人数为万人；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为；
（3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
23．（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
设 ，交于点M，
在 中，，
在 中，，
，
（2）证明：四边形 是正方形
，，
，
，
，
过 作 于 ，于 ，
，
∴，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
（3）证明：，
，
设 ，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
；
在上取一点，使 ，
连接，
易证 ，
，，
，
，
，
，
，
；
在，，
解得，
；
