2024年山东省东营市东营区胜利十三中中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列数：，，，，，中，正数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.不透明的袋子里共装有个黑球和个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是( )
A. B. C. D.
5.四元玉鉴是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
6.用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是( )
A. B. C. D.
7.如图，为外一点，、分别切于点、，是的直径，若，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，菱形中的顶点，的坐标分别为，，点在轴的正半轴上，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9.一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，在等腰中，，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，共28分。
11.测得某人的头发直径为米，这个数据用科学记数法表示为______．
12.把分解因式的结果是______．
13.第四象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是______．
14.甲、乙两人在相同情况下各射靶次，环数的方差分别是，，则射击稳定性高的是______．
15.如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么______．
16.如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使，，在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，如果，则的长是______．
17.如图，在等腰中，，，、、分别是、、边上的点，将分别沿、折叠，使点恰好落在点处，点落在同一平面内的点处，与相交于点若，则的值是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再求值：，其中；
解不等式，并求出其最小整数解．
20.本小题分
小红家到学校有两条公共汽车线路为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周个工作日选择线路，第二周个工作日选择线路，每天在固定时间段内乘车次并分别记录所用时间数据统计如下：单位：
数据统计表
实验序号
线路所用时间
线路所用时间
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
线路所用时间
线路所用时间
填空：______；______；______；
应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
21.本小题分
如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．
求证：为的切线；
若，，求的长．
22.本小题分
综合运用
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
求的值及反比例函数的表达式；
点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标．
在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
23.本小题分
某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长米，宽米，中心建设一个直径为米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多米，阴影铺设地砖的面积是平方米取．
求矩形花坛的宽是多少米；
四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费元，乙工程队每平方米施工费元，若完成此工程的工程款不超过元，至少要安排甲队施工多少平方米．
24.本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于，连接，．
求证：；
当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
在满足的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？不必说明理由
25.本小题分
已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧点的坐标为，．
求抛物线的解析式；
点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.甲
15.
16.
17.
18.
19.解：原式
，
当时，
原式．
，
，
，
，
，
故不等式的最小整数解为．
20.解：求中位数首先要先排序，
从小到大顺序为：，，，，，，，，，共有个数，
中位数在第和第个数为和，
所以中位数为，
求平均数，
众数，
故答案为：，，．
小红统计的选择线路平均数为，选择线路平均数为，用时差不太多．而方差，相比较路线的波动性更小，所以选择路线更优．
21.证明：如图所示，连接，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
，而，
，
是的半径，
是的切线；
解：为的直径，
，，
，
如图所示，连接，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
22.解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为；
当时，
，
，
，
，
，
又
，
解得：，
，
点坐标为；
存在；理由如下：
当点在轴正半轴上时，
如图，过点作轴交轴于，
则，
点；
当点在轴负半轴上时，
如上图，设与轴交于点，
，
，
则，
解得：，
，
设直线表达式为，代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
23.解：设矩形花坛的宽是米，则长是米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：矩形花坛的宽是米．
设安排甲队施工平方米，则安排乙队施工平方米，
依题意得：，
解得：．
答：至少要安排甲队施工平方米．
24.证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
当时，四边形是正方形．
理由如下：，，
，
．
为中点，
，
．
四边形是菱形，，
四边形是正方形．
25.解：点的坐标为，，
则点，
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
由抛物线的表达式知，点，抛物线的对称轴为直线，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
即点；
如图所示：过点作，交于点．
，，
．
．
由知，直线的解析式为．
设，则．
，
当时，有最大值，最大值为．
的最大面积．
四边形的面积的最大值．
