江苏省苏州市新区实验初中2023-2024学年下学期八年级数学5月
月考试卷
一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
2．（2分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
3．（2分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
4．（2分）已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（ ）
A．±6 B．6 C．4 D．±3
5．（2分）如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件不能是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠ABC＝∠ACD
C． D．AD BC＝AC DC
6．（2分）已知双曲线y＝经过点 （1，﹣2），则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为y＝﹣
B．点（﹣1，2）在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限
D．当x＜0时，y随x增大而减小
7．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC、BD相交于点E，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动，设点P运动的路程为x，△AEP的面积为y，y与x的函数关系如图②所示，则下列结论：①四边形ABCD的面积为12；②BC的长为4；③当x＝2.5时，△AEP为等边三角形；④当△AEP的面积为3时，x的值为3或10．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是 ．
10．（2分）若＝，则分式的值为 ．
11．（2分）黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长＞宽），若该书长为20cm，则宽为 cm．（结果精确到0.1cm）
12．（2分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2分）一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球 个．
14．（2分）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ．
15．（2分）如图，点P是反比例函数图象上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图象于C、D两点，△PCD的面积是，则k的值是 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD，则的值等于 .
三、解答题（共11小题，共68分）
17．（4分）用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣3x+2＝0．
18．（5分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；
（3）学校计划购买课外读物4000册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理？
19．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A（1，3）、B（4，4）、C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为 ；
（2）若在坐标轴上有一点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，直接写出点D的坐标．
20．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）当时，求证：BE平分∠ABC．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
22．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
23．（6分）道用脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的有物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2420千克．
（1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
24．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
25．（6分）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．
求证：a2﹣b2＝bc．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB．
∴∠D＝∠ABD，
∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°
∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，
∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C
∴△ABC∽△BCD
∴，即
∴a2﹣b2＝bc
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B．
求证：a2﹣b2＝bc．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，8），AB⊥x轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）连接CD，OD，求S△OCD；
（3）在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．
（1）当点E与点C重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查；
B、旅客上飞机前的安检适合全面调查；
C、选出某校短跑最快的学生参加全市比赛适合全面调查；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查；
故选：D．
2．（2分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
3．（2分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：C．
4．（2分）已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（ ）
A．±6 B．6 C．4 D．±3
【解答】解：根据比例中项的概念得：c2＝ab＝2×18，
即c2＝36，
∴c＝±6．
故选：A．
5．（2分）如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件不能是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠ABC＝∠ACD
C． D．AD BC＝AC DC
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ABC∽△ACD，故选项A不符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，故选项B不符合题意；
∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ACD，故选项C不符合题意；
故选：D．
6．（2分）已知双曲线y＝经过点 （1，﹣2），则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为y＝﹣
B．点（﹣1，2）在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限
D．当x＜0时，y随x增大而减小
【解答】解：∵双曲线y＝经过点 （1，﹣2），
∴k＝1×（﹣2）＝﹣2＜0，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，函数图象分布在第二、四象限，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣1×2＝﹣2＝k，
∴点（﹣1，2）在该双曲线上，
∴选项D错误，
故选：D．
7．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，
故选：D．
8．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC、BD相交于点E，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动，设点P运动的路程为x，△AEP的面积为y，y与x的函数关系如图②所示，则下列结论：①四边形ABCD的面积为12；②BC的长为4；③当x＝2.5时，△AEP为等边三角形；④当△AEP的面积为3时，x的值为3或10．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图2可知，当点P运动点B时，y＝S△ABE＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S矩形ABCD＝4S△ABE＝4×3＝12，故①正确；
由图2可知，当y＝0，x＝7，即点P运动到点C，AB+BC＝7，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB BC＝12，
由，
解得：或，
∵AB＜AD＝BC，
∴AB＝3，BC＝AD＝4，故②正确；
当x＝2.5时，即x＜3，点P在AB上，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝≠，
∴∠BAC≠60°，
∴△AEP不可能是等边三角形，故③错误；
由结论①可得，当点P运动到点B时，x＝3，y＝S△ABE＝3，
结合图②，当点P运动到点D时，y＝S△AED＝3，
此时x＝AB+BC+CD＝10，
∴△AEP的面积为3时，x的值为3或10，故④正确．
故正确的结论有①②④，共3个．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是 ﹣3 ．
【解答】解：∵设方程x2+x+m＝0的根为x1，x2，
∴x1x2＝6，
∵﹣2是方程x2+mx+6＝0的一个根，
∴﹣2x2＝6，
∴x2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（2分）若＝，则分式的值为 ﹣ ．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝k，b＝3k（k≠0），
∴原式＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
11．（2分）黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长＞宽），若该书长为20cm，则宽为 12.4 cm．（结果精确到0.1cm）
【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm，
∴它的宽＝20×≈12.4（cm）．
故答案为：12.4．
12．（2分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜4 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故答案为：m＜4．
13．（2分）一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球 12 个．
【解答】解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4＝20（个），
所以袋子中有红球20﹣8＝12（个），
故答案为：12．
14．（2分）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ①② ．
【解答】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3，④三边分别为：1，，2，⑤三边分别为：2，，，
∵＝＝＝，
∴图形中的阴影三角形相似的序号为①②．
故答案为：①②．
15．（2分）如图，点P是反比例函数图象上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图象于C、D两点，△PCD的面积是，则k的值是 2 ．
【解答】解：设P（a，），
又C、D在y＝上，
∴C（a，），D（，）．
∴PC＝﹣，PD＝a﹣．
∴S△PCD＝PC PD＝（﹣）（a﹣）＝．
∴（4﹣k）（1﹣）＝1．
∴k＝2或6．
由题意，k＜4，
∴k＝2．
故答案为：2．
16．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD，则的值等于 .
【解答】解：如图，过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB，
∴＝，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD＝BC，
∴＝，
∵△BFD∽△CAB，
∴＝＝，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD，
∵CH∥AD，
∴△BDF∽△BCH，
∴＝＝＝，
∵AF＝FD，
∴＝，
∵AD∥HC，
∴△AFE∽△CHE，
∴＝＝，
∴＝，
∵＝，
∴FH＝FB，
∴＝，
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共68分）
17．（4分）用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣8＝0，
2（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
x1＝1，x2＝2．
18．（5分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，m＝ 40 ，n＝ 60 ；
（2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度；
（3）学校计划购买课外读物4000册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理？
【解答】解：（1）样本容量为：70÷35%＝200，
∴n＝200×30%＝60，
m＝200﹣70﹣60﹣30＝40，
故答案为：40，60；
（2）×360°＝72°，
故答案为：72；
（3）×4000＝600（册），
答：估计学校购买其它类读物600册比较合理．
19．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A（1，3）、B（4，4）、C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（2）若在坐标轴上有一点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图形知A1（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）；
（2）由图形知D（﹣1，0）．
20．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）当时，求证：BE平分∠ABC．
【解答】证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FCD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；
（2）∵E是AD的中点，
∴，
∵，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴BE平分∠ABC．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
22．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，
∴，
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．
23．（6分）道用脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的有物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2420千克．
（1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
【解答】解：（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，
根据题意，得2000（1+x）2＝2420，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）
答：脐橙平均亩产量的年增长率为10%．
（2）设增加脐橙种植面积a亩．
根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20．
答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变．
24．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
25．（6分）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．
求证：a2﹣b2＝bc．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB．
∴∠D＝∠ABD，
∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°
∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，
∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C
∴△ABC∽△BCD
∴，即
∴a2﹣b2＝bc
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B．
求证：a2﹣b2＝bc．
【解答】证明：延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD．
∴∠D＝∠ABD，
∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，
∵∠CAB＝2∠ABC，
∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴a2﹣b2＝bc．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，8），AB⊥x轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）连接CD，OD，求S△OCD；
（3）在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（a，8），AB⊥x轴于点B，
∴AB＝8，
∵＝，
∴OB＝6，
∴A（6，8），
又∵点D的纵坐标为2，
∴D（6，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的表达式为：y＝，
设直线OA的表达式为：y＝bx，
∵点A在直线OA上，
∴6b＝8，
解得：b＝，
∴直线OA的表达式为：y＝x，
联立得：
，
解得或，
∴C（3，4），E（﹣3，﹣4）；
（2）由（1）可知C（3，4），D（6，2），B（6，0），
∵S△OCD＝S△OAB﹣S△OBD﹣S△ACD，
∴S△OCD＝OB×|yA|﹣OB×|yD|﹣AD×|xB﹣xD|
＝×6×8﹣×6×2﹣×（8﹣2）×（6﹣3）
＝24﹣6﹣9
＝9；
（3）在x轴上存在两点M，N，使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：
∵设M（m，0），N（﹣m，0），
∴OM＝ON，
∵C（3，4），E（﹣3，﹣4），
∴OC＝OE，
∴四边形EMCN是平行四边形，
当MN＝CE＝2OC＝2×＝10时，
∴OM＝ON＝5，即m＝5或﹣5，
∴OM＝ON＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN，
∵∠OMC+∠OCM+∠ONC+∠OCN＝180°，
∴∠OCM+∠OCN＝90°，即∠MCN＝90°，
∴此时平行四边形EMCN为矩形，
∵M在N的左侧，
∴m＝﹣5，
∴CM＝＝4，CN＝＝2，
∴矩形EMCN周长为×2＝12．
27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．
（1）当点E与点C重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得AQ＝t cm，DP＝2t cm，
∵矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
∴∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6cm，AD＝BC＝8cm，AB∥CD，
∴BD＝＝10（cm），
∵当点E与点C重合时，PE⊥BD，CD＝DE＝6cm，
∴∠DPE＝∠DCB＝90°，
∵∠PDE＝∠BDC，
∴△DPC∽△DCB，
∴，
即，
解得；
（2）如图，若Q，B，E在一条直线上，
∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC，
∴△DBC∽△DEP，
∴，
即，
解得；
∴，
∵∠QAB＝∠BCE＝90°，∠AQB＝∠CBE＝90°﹣∠QBA，
∴△ABQ∽△CEB，
∴，
即，
解得 ，t2＝﹣3 （舍），
∴t＝时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）若△AQG∽△PEF，则∠AGQ＝∠PFE，，
由（2）可知． ，
∵AB∥CD，
∴∠AGQ＝∠DEF，
∴∠PFE＝∠DEF，
∴，
∴，
∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC，
∴△DPE∽△DCB，
∴，
即，
解得PE＝t，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∵，
∴，
解得．
