东风高中2022级高二下学期6月阶段性考试
数 学（2024年6月18日）
（考试用时：120分钟，试卷满分：150分）
祝考试顺利！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，则的值为
A．1 B． C． D．
2．已知函数，则等于
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为
A． B． C． D．
5．若的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为
A．10 B．210 C．252 D．463
6．已知 ，则
A．8 B．10 C． D．
7．下列说法错误的个数为
①已知，若，则
②已知，则
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．设，随机变量的分布列为：
则当p在区间内增大时，
A．减小
B．增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
二．选出符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列关于概率统计的说法中正确的是
A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
10．下列说法中，正确的是
A．数据的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，；则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
11．给出下列命题，其中正确的命题是
A．设具有相关关系的两个变量的样本相关系数为，则越接近于，之间的线性相关程度越强
B．随机变量，若，则
C．随机变量服从两点分布，若，则
D．某人在次射击中击中目标的次数为，若，则当时概率最大
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12．已知，则 ．
13．同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ．
14．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ．
①；②；
③；④．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，证明：为单调递增函数．
16．（15分）
已知0，1，2，3，4，5，6共7个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？（结果用数字作答）
17．（15分）
某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差；
(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数.
参考数据：；
若，则，.
18．（17分）
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级 合计
优秀 良
主播的学历层次 本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望.
附：，.
19．（17分）
已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数.
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.
