2023—2024学年度高一6月联考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若（是虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ）
A．58 B．60 C．61 D．62
3．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．4
4．某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为650．现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ）
A．11 B．13 C．22 D．26
5．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．5 C．或6 D．或
6．已知复数满足（，，，若是关于的方程的一个根，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，测量河对岸的可视塔底的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A． B． C． D．
8．已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某学校开展知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示。根据频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．众数为80
C．第71百分位数是82 D．平均分是75.5
10．下面四个命题中正确的是（ ）
A．对应的点在第二象限
B．若复数，满足，则
C．方程在复数集内有两解和
D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11．在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体，顶点在底面上的射影为，下列结论正确的是（ ）
A． B．点为的外心
C．点到三个侧面距离的平方和等于 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数，，，，的方差是________．
13．已知向量，满足，，则最大值为________，最小值为________．
14．在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的正弦值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，棱长为1的正方体中，，，，分别是，，，的中点．
（1）计算三棱台的体积；
（2）求证：平面平面．
16．（15分）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
裝备价格/元 2500 4000 4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本．
17．（15分）已知，复数，，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
18．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19．（17分）如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2023—2024学年度高一6月联考
数学参考答案及评分意见
1．A【解析】因为，则，所以．故选A．
2．C【解析】注意到，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，即为．故选C．
3．C【解析】如图所示，过引轴，交轴于点，则长度的两倍即为所求，在中，，即，解得，即原图形与间的距离为，故选C．
4．C【解析】由题意知硕士学历的人数与总人数1000之比为，现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为．故选C．
5．C【解析】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以平面向量，，两两的夹角为或，又，，，当夹角为时，即，，同向，则；当夹角为时，则，，，则，综上所述，或．故选C．
6．C【解析】∵，∴，∴，是关于的方程的一个根，则也是方程的另一个根，根据韦达定理可得解得或（舍去），所以．故选C．
7．A【解析】由已知，，米，故，所以，即，解得，又因为在点测得塔顶的仰角为，即，所以在中，．故选A．
8．D【解析】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为，∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为，
由题意，球心与的距离为，到平面的距离为，∴，∴，即正方体棱长为．故选D．
解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点，恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆，又因为平面截此球所得的截面的面积为，所以截面圆的半径为，，所以，整理得，故截面圆的半径，解得，即正方体棱长为．故选D．
9．ACD【解析】由频率分布直方图可得，解得，故A正确；众数的估计值为75，故B错误；前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为，则设第71百分位数是，，所以，解得，所以第71百分位数是82，故C正确；由频率分布直方图估计平均数为，故D正确．故选ACD．
10．AD【解析】对于A，复数对应的点为，故该点在第二象限内，故A正确；对于B，令，，满足，但，故B错误；对于C，方程在复数集内有两解和，故C错误；对于D，复数满足，整理得：，故（无意义），所以复数在复平面内对应点的轨迹为圆，故D正确．故选AD．
11．ACD【解析】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；
因为平面，平面，所以，又，又，所以平面，又平面，所以．同理可证，，所以点为的垂心，故B错误；利用补体思想，以为体对角线构造长方体，结合长方体对角线的几何性质，可知C正确；取的中点为，连接，，则，，
，故D正确．故选ACD．
12．5【解析】∵一组数据，，，，的方差是，∴另一组数据，，，，的方差．故答案为5．
13． 【解析】∵，，设和的夹角为，∴，∴时，取最大值；时，取最小值．故答案为；．（第一空3分，第二空2分）
14．1【解析】由题意，如图所示，连接，，取中点为，
连接，，则，故为异面直线与所成角或其补角，
易得，，，从而，所以异面直线与所成角为，即正弦值为1，故答案为1．
另解：平面，又，根据三垂线定理可知．
15．（1）解：由题可知，，，， 2分
故根据棱台的体积公式，可得棱台的体积．4分
（2）证明：如图所示，连接，，，，分别是，，，的中点．所以，，
所以，平面，平面，所以平面． 6分
连接，在正方体中，
因为、分别是、的中点，
所以，，
因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形， 8分
故， 9分
因为平面，平面，
所以平面， 11分
又，所以平面平面． 13分
16．解：（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
4分
（2）由频数分布表知第一组频率为0.1，第二组频率为0.12，第三组频率为0.13，第四组频率为0.18，，， 6分
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由， 8分
解得，故样本数据的中位数约为29.2． 10分
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），12分
所以这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
故估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元． 15分
17．解：（1）因为，，
所以， 2分
． 4分
当且仅当时取得等号，
所以． 6分
（2）因为，，
且，，三点共线时，有，
即，
解得． 8分
此时，，，11分
所以， 13分
所以． 15分
18．（1）证明：根据题意，若，
由正弦定理可得，
即，整理得．
因为，所以， 3分
即，又由，则有，即，所以，
∴得证． 6分
（2）解：因为．所以，
所以由余弦定理得，
所以， 8分
所以． 9分
又由正弦定理得，，
所以，
所以， 12分
又解得，， 14分
则有，所以，
所以， 16分
所以． 17分
19．（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
∴，∴． 1分
在中，，，，
∴，∴． 2分
∵，、平面，
∴平面． 3分
又平面，
∴平面平面． 4分
（2）解：设点到平面的距离为，
由题意得，，，，
∴，∴，， 6分
由可得，因为，所以解得， 8分
设直线与平面所成角为，又因为，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为． 10分
（3）在线段上存在点，使得平面且． 12分
证明如下：在平面内，，∴，
又平面，平面，
∴平面； 13分
在平面内，，，∴．
又平面，平面，
∴平面， 15分
又，
∴平面平面，又平面，
∴平面．
∴在线段上存在点，使得平面且． 17分
