第4章《直线与角》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，点A，O，B在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）
A．5 B． C．或 D．
9．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④ B．①①②③ C．①①②④ D．①①②⑤
10．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（ ）
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如果，则的余角是 度；的补角是 度．
12．如图是一个正方体的展开图，将展开图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则的值为 ．
13．如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
14．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
15．如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
16．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接；
②在线段的延长线上取点C，使；
③连接，，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若，D为的中点，E为的中点，求的长．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点在直线上，，分别平分，，可求得．（不用求解）
【问题改编】点在直线上，，平分．
(1)如图2，若，求的度数；
(2)将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由．
19．（8分）如图，O为直线AB上一点，与互补，OM，ON分别是，的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
∵与互补，
∴．
又___________=180°，
∴∠_________=∠_________．
(2)若，求的度数．
(3)若，则（用表示）．
20．（8分）（1）如图，点C在线段上，点M在线段上，点N在线段上．
①已知，若点M，N分别是，的中点，求线段的长；
②已知，若点M是的中点， ，求线段的长；
③已知，若， ，请直接写出线段的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线上，（1）中其他条件不变，已知，，，请直接写出线段的长．
21．（8分）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
22．（8分）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
23．（8分）如图，点为直线上一点，将斜边为的直角三角板的直角顶点放在点处，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)将直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，，与的起始位置重合，再将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，射线恰好是锐角的三等分线，则的值为__________秒（直接写出结果）．
答案解析
选择题
1．A
【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；
②因为点不一定在线段上，所以若线段，则点不一定是线段的中点，则原说法错误；
③射线与射线的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；
⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；
综上，说法正确的有2个，
故选：A．
2．C
【分析】根据平角的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：∵A，O，B在一条直线上，
∴，
∴，
的余角是，
故选：C．
3．C
【分析】设，则，根据角平分线的定义可以推出，结合，即可求出的值，进而得到的度数．
【详解】解：，平分，且，
设，则，
，
，
解得：，
，
故选：．
4．B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
∴以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以、、、为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
5．C
【分析】将转化为，即可得出答案．
【详解】由，
又因为，
所以．
故选：C．
6．D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将折向，使得重叠在上，再从点重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
7．A
【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：
分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
8．B
【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【详解】设，则，
∴．
∵，
∴．
设，
当点E在线段之间时，如图，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点E在线段之间时，如图，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：，不符合题意，舍；
综上可得．
故选B．
9．B
【分析】由题意画出图形可求解．
【详解】解：由题意，B选项可拼成一个小正方形（无空隙不重叠）如下：
故选：B．
10．B
【分析】由于B选项中的结论是,而,因此只要判断和是否相等即可，根据,而,因此得到，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有个，
所以A选项正确；
，
,
,即 ,
所以B选项错误；
由中点定义可得：,,
，
,
,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：,,
,
,
,
,
,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
二．填空题
11． 60 150
【分析】根据余角和补角的定义列式计算即可．
【详解】解：根据余角的定义，的余角，
根据补角的定义，的补角度数，
故答案为：60，150．
12．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“2”相对，面“”与面“4”相对，“”与面“1”相对．
，，，
故答案为：．
13．或
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∴．
当点N在点M的下方时，设，，
则，
由翻折变换的性质可知，，
∴．
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
14．15或29
【分析】分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵，，N是线段的中点，
∴，，
①若，如图1所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M是线段的中点，
∴，
∴，
②若，如图：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M是线段的中点，
∴，
∴；
故答案为：15或29．
15．
【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答．
【详解】解：，、分别是和的平分线，
，
，
、分别是和的平分线，
，
，
、分别是和的平分线，
，
，
…，由此规律得：
．
故答案为：．
16．24
【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解．
【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，
由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：24．
三．解答题
17．（1）解：如图：
（2）解：如图：
∵，，
∴，
∴，
又∵D为的中点，E为的中点，
∴，，
∴．
18．（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
（2）设，则．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴将图2中的按图3所示的位置放置时，与度数间的等量关系为．
19．（1）解：∵与互补，
∴．
又 BOC =180°，
∴∠AOD＝∠BOC．
故答案为：BOC； AOD；BOC；
（2）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣136°＝44°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝∠AOD＝22°．
（3）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝∠AOD＝．
20．解：（1）①∵点M，N分别是的中点，
∴， ，
∴；
②∵点M是的中点， ，
∴， ，
∴；
③；
∵，
∴，
∴；
（2）或．
∵，
∴，
若点C在线段上时，
∴．
若点B在线段上时，．
综上，线段的长为或．
21．（1）解：如图1：∵平分，
∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
22．解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，CM=BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，CM=BC，
∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，BM=BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN=AC，CM=BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，
综上所述，MN的长度为m.
23．（1）解：，
，
∵平分，
∴,
是直角，
．
（2）解：；理由如下：
平分，
，
，
，
，
．
（3）解：由角的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：
①∵射线恰好是锐角的三等分线，
∴,
∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴；
由（1）可得：,
∴，
∴，即；
②∵射线恰好是锐角的三等分线，
∴,
∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴；
由（1）可得：,
∴，
∴，即．
综上，当或4时，射线恰好是锐角的三等分线．
