2025人教B版高中数学必修第一册
全书综合测评
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U={x∈N|1≤x≤6},集合A={2,3,5},B={3,4,5},则A∩( UB)=( )
A.{1,6} B.{2,6} C.{2} D.{1,2}
2.命题p: x∈R,x2+2x+2≤0,则 p为( )
A. x∈R,x2+2x+2>0 B. x∈R,x2+2x+2≥0
C. x∈R,x2+2x+2>0 D. x∈R,x2+2x+2≥0
3.已知函数f(x)=则f(-4)=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.某市居民生活用电实行“阶梯电价”,并按三档累进递增.第一档:月用电量不超过200千瓦时时,电价为0.5元/千瓦时;第二档:月用电量超过200千瓦时但不超过400千瓦时时,超出部分的电价为0.6元/千瓦时;第三档:月用电量超过400千瓦时时,超出部分的电价为0.8元/千瓦时.若某户居民9月份的用电量是420千瓦时,则该用户9月份应缴的电费是( )
A.210元 B.232元 C.236元 D.276元
5.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上单调递增且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上( )
A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5
C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5
6.已知x1,x2是方程2x2+bx+c=0(b>0,c<0)的两根,且,则该方程是( )
A.2x2+3x-3=0 B.2x2+2x-3=0
C.2x2+2x-4=0 D.2x2+3x-4=0
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,且对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),总有 <0,若f(a-1)>f(-1),则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
8.已知函数f(x)的定义域为D,若 x1∈D, x2∈D,满足=a,则称函数f(x)具有性质P(a).已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=-x2+mx-3具有性质P,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是( )
A.空集是任何集合的子集
B.函数f(x)=在定义域上单调递减
C.若f(x)在定义域上为奇函数,则一定有f(0)=0
D.若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称
10.下列关于函数f(x)=+1的叙述正确的是( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠0},值域为[1,+∞)
B.函数f(x)为偶函数
C.当x∈[-1,0)时,f(x)有最小值2,但没有最大值
D.函数g(x)=f(x)-x2+1有1个零点
11.若a>0,b>0,且,则下列不等式恒成立的是( )
A.≥1 B.ab≥
C.a+b≤ D.a2+b2≥
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则图中阴影部分表示的集合是 .
13.对于函数f(x)=(x>0)的定义域中任意x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
① f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);
② f(x1x2)=f(x1)f(x2);
③ >0;
④ f < .
其中正确结论的序号是 .
14.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x+1)=f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=,则当x∈(0,1]时,f(x)的最小值为 ;若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥成立,则实数m的最大值是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,命题q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p与q均为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若a>0,且 p是 q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.(15分)将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度,单位是平方千米/时,如扫码速度为1平方千米/时表示人每小时步行扫过地面的面积为1平方千米.十一期间,黄山景区游客很多,假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v(单位:平方千米/时),游客的密集度为x(单位:人/平方千米),当黄山上的游客密集度为250人/平方千米时,景区道路拥堵,游客游玩的扫码速度为0平方千米/时;当游客密集度不超过50人/平方千米时,游客游玩的扫码速度为5平方千米/时,统计数据表明:当50≤x≤250时,游客游玩的扫码速度是游客密集度x的一次函数.
(1)当0≤x≤250时,求函数v(x)的表达式;
(2)当游客密集度x为多少时,单位时间内通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大
17.(15分)设函数f(x)=ax2+2ax+4,a∈R.
(1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a≤0时,解关于x的不等式f(x)>(a+1)x+5.
18.(17分)已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.
(1)已知f(x)=,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.
19.(17分)已知f(x)是二次函数,其两个零点分别为-3,1,且f(0)=-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若 x∈[1,3],f(x)+7≥mx恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设g(x)=f(x)+kx+5,x∈[-1,2],g(x)的最小值为h(k),若方程h(-4)=λ有两个不等实根,求λ的取值范围.
答案与解析
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1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.D
7.D 8.D 9.AD 10.BC 11.AD
1.C 易得U={1,2,3,4,5,6},所以 UB={1,2,6},所以A∩( UB)={2}.故选C.
2.A
3.D 由已知得,f(-4)=f(-4+3)=f(-1)=f(-1+3)=f(2)=2×6=12.
4.C 依题意可得该用户9月份应缴的电费为200×0.5+200×0.6+20×0.8=236(元).
5.A ∵f(x)在[-3,-1]上单调递增且有最大值5,∴f(-1)=5,
又f(x)为奇函数,
∴f(x)在[1,3]上单调递增,且f(1)为最小值,
易知f(1)=-f(-1)=-5.
6.D ∵x1,x2是方程2x2+bx+c=0(b>0,c<0)的两根,
∴x1+x2=-,
又,
∴,
即,
解得b=3,c=-4,故该方程是2x2+3x-4=0,
故选D.
7.D 由题意可得函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.
因为f(x)-f(-x)=0,即f(x)=f(-x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以函数f(x)为R上的偶函数,
所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
由f(a-1)>f(-1)可得f(|a-1|)>f(1),即|a-1|>1,解得a<0或a>2.
故选D.
8.D 因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)=-x2+mx-3具有性质P,
所以 x1∈(0,+∞), x2∈(0,+∞),满足,
即 x1∈(0,+∞), x2∈(0,+∞),f(x2)=1-x1恒成立.
易得x1∈(0,+∞)时,1-x1∈(-∞,1),
记函数f(x)=-x2+mx-3,x∈(0,+∞)的值域为M,
则由题意得(-∞,1) M,
当≤0,即m≤0时,f(x)=-x2+mx-3在x∈(0,+∞)上单调递减,
则f(x)
故f(x-3,
则M=,
要满足(-∞,1) M,需-3≥1,解得m≥4或m≤-4,而m>0,故m≥4.
综上所述,m的取值范围为[4,+∞).
9.AD 易得A,D正确.函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不单调,故B中说法错误.
f(x)=是奇函数,但x=0时,f(x)没有意义,故C中说法错误.
故选AD.
10.BC 对于A,f(x)的定义域为{x|x≠0},因为>0,所以+1>1,故f(x)的值域为(1,+∞),故A错误;
对于B,因为f(-x)=+1=f(x),f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)是偶函数,故B正确;
对于C,当x∈[-1,0)时,f(x)=+1≥2,故C正确;
对于D,函数g(x)=f(x)-x2+1的零点个数等于函数f(x)的图象与抛物线y=x2-1的交点个数,画出y=f(x)及y=x2-1的图象,如图所示,
由图可知,函数f(x)的图象与抛物线y=x2-1有2个交点,所以g(x)有2个零点,故D错误.
故选BC.
11.AD 对于A,因为a>0,b>0,,所以=4,即=4,则(≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时取等号,所以≥1,故A正确;
对于B,由≥2,得4≥2,解得ab≥,当且仅当a=b=时取等号,故B错误;
对于C,a+b≥2≥2,当且仅当a=b=时取等号,故C错误;
对于D,a2+b2≥2ab≥,当且仅当a=b=时取等号,故D正确.
12.答案 (-2,-1)∪[0,1]
解析 题图中阴影部分表示的集合为 A∪B(A∩B),
易得集合A={x|x(x+2)<0}={x|-2
所以 A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1].
13.答案 ②④
解析 ①令x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=,f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2),故①错误;
②对于任意x1,x2(x1≠x2),有f(x1x2)==f(x1)f(x2),故②正确;
③ <0,故③错误;
④ f <0,故④正确.
综上,正确结论的序号是②④.
14.答案 2
解析 当x∈(0,1]时,f(x)=+2x,
因为x∈(0,1],所以f(x)=+2x≥2,当且仅当=2x,即x=时取等号,
所以f(x)的最小值为2.
因为f(x+1)=f(x),
所以f(x)=f(x-1),
易知当x∈(0,1]时,f(x)=∈[2,+∞),
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1),所以f(x)∈;
当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],f(x)=f(x-2),所以f(x)∈;
当x∈(3,4]时,x-3∈(0,1],f(x)= f(x-3),所以f(x)∈.
易得,
当x∈(3,4]时,令f(x)=,解得x=.
若对任意x∈(0,m](m>0),
都有f(x)≥恒成立,则m≤,
所以实数m的最大值为.
15.解析 (1)当a=1时,命题p:实数x满足x2-4x+3<0,即1
则解得2
(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-a)(x-3a)<0,
∵a>0,∴a
若 p是 q的充分不必要条件,则A是B的真子集,
∴≤a≤2.
∴实数a的取值范围为.(13分)
16.解析 (1)由题意知,当0≤x<50时,v=5;(2分)
当50≤x≤250时,由题意可设v(x)=ax+b(a≠0),
由
所以v(x)=-.(5分)
故v(x)=(7分)
(2)由(1)可得f(x)=xv(x)=(9分)
当0≤x<50时,f(x)=5x,
则f(x)max
所以当x=125时,f(x)max==390.625.(13分)
因为250<390.625,所以当游客密集度为125人/平方千米时,单位时间内通过的游客数量可以达到最大.(15分)
17.解析 (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立,
则ax2+2ax+4>0在实数集R上恒成立,
当a=0时,不等式为4>0,恒成立,符合题意;(2分)
当a≠0时,则
解得0
(2)不等式f(x)>(a+1)x+5即为ax2+(a-1)x-1>0,即(ax-1)(x+1)>0, (7分)
若a=0,则不等式为x+1<0,解得x<-1.(9分)
若a<0,则不等式可变形为(x+1)<0,(11分)
当>-1,即a<-1时,解得-1
当<-1,即-1
当a<-1时,不等式的解集为x-1
当-1
设u=2x+1,x∈[0,1],
则1≤u≤3,y=u+-8.(3分)
由题中所给出的性质得,当1≤u≤2,
即0≤x≤时, f(x)单调递减,当2≤u≤3,
即≤x≤1时, f(x)单调递增,
所以函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)
因为f(0)=-3, f=-4, f(1)=-,
所以f(x)的值域为[-4,-3].(8分)
(2)由题意得f(x)在[0,1]上的值域是g(x)在[0,1]上的值域的子集.(10分)
易知g(x)=-x-2a为减函数,
故当x∈[0,1]时,g(x)∈[-1-2a,-2a].(12分)
由(1)知当x∈[0,1]时,f(x)∈[-4,-3],(13分)
所以解得a=.(17分)
19.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则(3分)
∴f(x)=x2+2x-3.(4分)
(2)由(1)得f(x)=x2+2x-3,
故f(x)+7≥mx即为x2+2x+4≥mx,
∴ x∈[1,3],x2+2x+4≥mx恒成立,即m≤,x∈[1,3],(6分)
易知x+≥4(当且仅当x=2时,等号成立),
∴x++2的最小值为6,
∴m≤6,即实数m的取值范围为(-∞,6].(9分)
(3)由(1)可知, f(x)=x2+2x-3,
∴g(x)=x2+(k+2)x+2,x∈[-1,2],
易知函数y=x2+(k+2)x+2的图象的对称轴为直线x=-,
①当-≤-1,即k≥0时,g(x)在区间[-1,2]上单调递增,
∴h(k)=g(-1)=1-k;
②当-≥2,即k≤-6时,g(x)在区间[-1,2]上单调递减,
∴h(k)=g(2)=2k+10;
③当-1<-<2,即-6
令-4=n,则n≥-4,h(n)=
作出y=h(n)的图象及直线y=λ,如图所示,
(15分)
要使方程h(-4)=λ有两个不等实根,那么函数h(n)的图象与直线y=λ应有两个交点,结合图象知1≤λ<2,即λ的取值范围为[1,2).(17分)
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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