2025人教B版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对分层抽样的抽样比理解不准确致错
1.(2024湖北黄冈外国语学校段考)某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为6∶5∶7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,已知样本中高三年级的学生有21人,则n等于( )
A.35 B.45
C.54 D.63
2.(2024四川成都期中)某区从11 000名小学生、10 000名初中生和4 000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试,若初中生比高中生多抽取60人,则n= .
易错点2 对频率分布直方图的特征理解有误致错
3.(2024四川雅安期中)某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动,选取了n人参与问卷调查,将他们的成绩进行适当分组后(最后一组为闭区间,其余各组为左闭右开的区间),得到如图所示的频率分布直方图,且成绩在[90,100]内的人数为10,则n=( )
A.60 B.80
C.100 D.120
4.(多选题)(2024陕西榆林期中)在疫情防护知识竞赛中,对某校的2 000名考生的参赛成绩进行统计,可得如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],若同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表值,则下列说法中正确的是( )
A.考生竞赛成绩的平均分为72.5分
B.若60分以下视为不及格,则这次知识竞赛的及格率为75%
C.成绩在区间[60,70)内的频率为0.2
D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本,则成绩在区间[70,80)内应抽取30人
易错点3 样本点重复或遗漏致错
5.(2024四川成都期中)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,分别标记两次骰子正面朝上的点数,则事件“两次正面朝上的点数之积大于8”的概率为( )
A.
6.(2024宁夏银川一中期末)一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b
C.
7.(2022山东师范大学附属中学期中)某市职业院校举行学生厨艺技能展示大奖赛,甲校有2男1女共3名学生报名参赛,乙校有1男2女共3名学生报名参赛.
(1)若从甲校和乙校报名的学生中各任选1名学生进行比赛,求选出的2名学生性别不同的概率;
(2)若从甲校和乙校报名的这6名学生中任选2名进行比赛,求选出的这2名学生来自同一学校的概率.
易错点4 分不清“互斥”与“对立”致错
8.(2023北京第十一中学实验学校期末)2022年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B( )
A.是互斥事件,但不是对立事件
B.是对立事件
C.既不是对立事件,也不是互斥事件
D.无法判断
9.(多选题)(2024河南开封期末)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张红色
D.2张卡片都为绿色
易错点5 混淆频率与概率致错
10.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么抛掷第999次时出现正面朝上的概率是 ( )
A. C.
11.(2024天津河东期末)用木块制作的一个四面体,四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是( )
四面体的面 1 2 3 4
次数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次,估计标记2的面落地的概率为0.72
C.再抛掷一次,标记4的面落地
D.再抛掷一次,估计标记3的面落地的概率为0.2
思想方法练
一、数形结合思想在统计与概率中的应用
1.(2022宁夏银川二中期末)空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级,指数越大说明污染的情况越严重,对人体危害越大,这六个等级对应的指数范围分别为[0,50],[51,100],[101,150],[151,200],[201,300],[301,500],某市某月1日到14日的空气质量指数折线图如图所示,则下面说法错误的是( )
A.这14天中有4天空气质量指数为“良”
B.从2日到5日,空气质量越来越差
C.这14天的空气质量指数的中位数是103
D.连续三天的空气质量指数中方差最小的是9日到11日
2.已知一个古典概型的样本空间Ω中包含12个样本点,事件A中包含6个样本点,事件B中包含4个样本点,事件A∪B中包含8个样本点,则事件A与事件( )
A.是互斥事件,不是相互独立事件
B.不是互斥事件,是相互独立事件
C.既是互斥事件,也是相互独立事件
D.既不是互斥事件,也不是相互独立事件
3.(2023河南南阳华龙高级中学月考)“六一”儿童节有A,B,C,D四位小朋友去看电影,应分别坐在a,b,c,d四个座位上,当四位小朋友均未留意,在四个座位上随便就座时,求:
(1)这四位小朋友恰好都坐在自己的座位上的概率;
(2)这四位小朋友都没坐在自己的座位上的概率;
(3)这四位小朋友恰好有1人坐在自己的座位上的概率.
二、函数与方程思想在统计与概率中的应用
4.(多选题)(2024陕西宝鸡期末)某校在开展的“体育节”活动中,为了解学生对“体育节”的满意程度,组织学生给活动打分(分数为整数,满分100分),发现分数均在[40,100]内,从中随机抽取一个容量为300的样本,并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),但不小心污损了部分图形(如图所示),则下列说法中正确的是( )
A.样本中分数落在[60,70)内的频数为45人
B.样本的众数为75
C.样本的平均数为75
D.样本的80%分位数为85
5.(2023黑龙江哈尔滨第四中学校月考)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到了下面的条形图.
记x(x∈N)表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y(单位:元)表示1台机器在购买易损零件上所需的费用,n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数关系式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设在购买这100台机器的同时每台都购买19个易损零件或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件
三、转化与化归思想在统计与概率中的应用
6.(2022陕西咸阳期中)现有某服务电话,已知打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少
7.(2024福建三明期末)猜灯谜是我国元宵节传统特色活动.在某校今年开展的元宵节猜灯谜活动中,组织者设置难度相当的若干灯谜,某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜,根据以往数据分析可知,甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为.
(1)任选一道灯谜,求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率;
(2)任选一道灯谜,若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为,求丙猜对每道灯谜的概率.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C 3.C 4.AC 5.B 6.C 8.A 9.ABD 10.D
11.D
1.C ∵该中学高一、高二、高三年级的学生人数比为6∶5∶7,
∴高三年级学生人数占总数的,
∵用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,且高三年级被抽到的人数为21,∴n=21÷=54.
故选C.
2.答案 250
解析 设小学生被抽取的人数为n1,高中生被抽取的人数为n3,则初中生被抽取的人数为n3+60,
所以,解得n3=40,n1=110,
所以n=n1+n3+60+n3=250.
易错警示 分层抽样就是按比例抽样,因此列比例式时要注意“=”两边的标准是否一致.
3.C 由题图可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,则成绩在[90,100]内的频率为0.1,由0.1n=10,得n=100.
4.AC 对于A,平均分为0.05×45+0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.2×85+0.1×95=72.5(分),故A正确;
对于B,由题图知大于等于60分的频率为(0.02+0.03+0.02+0.01)×10=0.8,
所以这次知识竞赛的及格率为80%,故B错误;
对于C,由题图知,成绩在区间[60,70)内的频率为0.02×10=0.2,故C正确;
对于D,成绩在区间[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,
所以样本中成绩在区间[70,80)内应抽取0.3×200=60人,故D错误.
易错警示 在频率分布直方图中,纵轴表示的是频率与组距的比,而不是频率.各小矩形的面积之比与高度之比都等于频率之比.
5.B 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示,其中第一次在前,第二次在后,不同结果如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.
不满足条件的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(6,1),共16种,
所以满足条件的结果有36-16=20种,所以概率为.
易错警示 解决古典概型问题的关键是准确地确定随机试验,不重不漏地列出所有样本点.
6.C 因为a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,所以可得4×3×2=24个三位自然数.若b=1,则“凹数”有213,214,312,314,412,413,共6个;若b=2,则“凹数”有324,423,共2个;当b=3或b=4时,“凹数”均有0个.所以这个三位自然数为“凹数”的概率P=.
7.解析 记甲校报名的2名男学生分别为A1,A2,1名女学生为a;乙校报名的1名男学生为B,2名女学生分别为b1,b2.
(1)从甲校和乙校报名的学生中各任选1名的所有可能情况有(A1,B),(A1,b1),(A1,b2),(A2,B),(A2,b1),(A2,b2),(a,B),(a,b1),(a,b2),共9种,
其中选出的2名学生性别不同的情况有(A1,b1),(A1,b2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B),共5种,
所以选出的2名学生性别不同的概率P=.
(2)从这6名学生中任选2名,样本点有(A1,A2),(A1,a),(A1,B),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a),(A2,B),(A2,b1),(A2,b2),(a,B),(a,b1),(a,b2),(B,b1),(B,b2),(b1,b2),共15个,
其中“选出的这2名学生来自同一学校”包含的样本点有(A1,A2),(A1,a),(A2,a),(B,b1),(B,b2),(b1,b2),共6个,
所以选出的这2名学生来自同一学校的概率为.
8.A 由题意知,事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A与事件B是互斥事件,但不是对立事件,
故选A.
9.ABD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张卡片都为红色”“2张卡片都为绿色”“2张卡片都为蓝色”“1张卡片为红色,1张卡片为绿色”“1张卡片为红色,1张卡片为蓝色”“1张卡片为绿色,1张卡片为蓝色”,
选项中给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张蓝色”“2张卡片都为绿色”.“2张卡片至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件.故选ABD.
易错警示 互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.解题时要避免弄错二者之间的关系.
10.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为.
易错警示 频率是随机的,不是一个固定的数,而概率是一个常数,为频率的稳定值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
11.D 不能确定该四面体是否均匀.因为即使是均匀的四面体,仅仅在200次试验下,得到落地的面的统计结果也可能不一样,A错误;
由于这200次试验中,标记2,3,4的面落地的频率分别为,即0.18,0.21,0.39,B选项中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大,B错误;
C选项认为标记4的面必定落地,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,C错误;
对于D选项,标记3的面落地的概率估计是0.2,和试验频率0.21非常接近,D正确.
思想方法练
1.C 2.B 4.AB
1.C 根据题图分析数据,对选项逐一判断.
对于A,由题意可知,1日,3日,12日,13日这4天的空气质量指数为“良”,故A中说法正确;
对于B,从2日到5日,空气质量指数越来越高,故空气质量越来越差,故B中说法正确;
对于C,中位数为=103.5,故C中说法错误;
对于D,方差小说明3个数据的波动较小,由题图可知D中说法正确.故选C.
2.B 由题意得维恩图:
利用维恩图,探究事件之间的关系.
由图知A∩B≠ ,且A∩≠ ,
∴事件A与事件不是互斥事件.又∵n(Ω)=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A∪B)=8,∴P(A)=)=P(A)·P(),∴事件A与事件不是互斥事件,是相互独立事件.
故选B.
3.解析 本题属于对号入座问题,情况较为复杂,所包含的基本事件也较多,为清楚地枚举出所有可能的基本事件,可利用数形结合思想,借助树形图解决.
A,B,C,D四位小朋友的就座情况可用树形图表示如下.
由图可知本题中的等可能基本事件共有24个.
(1)记“这四位小朋友恰好都坐在自己的座位上”为事件E,由图知事件E只包含1个基本事件,所以P(E)=.
(2)记“这四位小朋友都没坐在自己的座位上”为事件F,由图可知事件F包含9个基本事件,所以P(F)=.
(3)记“这四位小朋友恰好有1人坐在自己的座位上”为事件G,由图可知事件G包含8个基本事件,所以P(G)=.
思想方法 数形结合思想是统计与概率中的一种重要的思想方法.结合统计图对样本数据进行分析,能够使样本数据的特征(分布状况、变化趋势等)更直观,进而可估计总体的状况;利用树形图可以快速准确地得到样本点的个数;利用维恩图直观形象的特点可以快速判断事件之间的关系;利用统计图得到相关频率,进而可估计相关事件的概率.
4.AB 设出分数落在[60,70)内的频率为x,依据题设条件列方程并求解,从而解决问题.
设分数落在[60,70)内的频率为x,则10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)+x=1,解得x=0.15.
对于A,样本中分数落在[60,70)内的频数为300x=300×0.15=45人,故A正确;
对于B,由题意知,样本中分数在[70,80)内的频率最高,所以众数为75,故B正确;
对于C,样本的平均数为0.05×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=73.5,故C错误;
对于D,分数小于80分的频率为0.05+0.15+0.15+0.3=0.65,分数小于90分的频率为0.65+0.25=0.9,所以样本的80%分位数在[80,90)内,设为a,则0.65+(a-80)×0.025=0.8,解得a=86,故D错误.
设出80%分位数,依据题设条件列方程并求解,从而解决问题.
5.解析 (1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数关系式为
y=(x∈N).
根据题目信息列出y与x的关系式,应用了函数思想.
(2)由题中条形图知,需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若在购机同时每台机器都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台在购买易损零件上的费用为4 300元,10台在购买易损零件上的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+
4 300×20+4 800×10)=4 000(元).
若在购机同时每台机器都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台在购买易损零件上的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).
因为4 000<4 050,
所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
思想方法 函数与方程思想在本章中的应用主要体现在:①利用频率和为1列方程求参数值;②在样本数字特征的计算中,构造函数求相应量的最值.
6.解析 (1)设事件Ak(k∈N+)为“电话响第k声时被接”,那么事件Ak彼此互斥,
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,
根据互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
利用互斥事件的概率加法公式求概率.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A:“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为.
转化为对立事件的概率,进而求解.
根据对立事件的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
7.解析 (1)设事件A=“任选一道灯谜,甲猜对”,事件B=“任选一道灯谜,乙猜对”,事件C=“任选一道灯谜,甲、乙两位同学恰有一个人猜对”.
则P(A)=,故P(,
因为事件A与事件B相互独立,
所以P(C)=P(A.
根据相互独立事件的乘法公式求解.
(2)设事件D=“任选一道灯谜,甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”,事件E=“任选一道灯谜,丙猜对”,
将问题转化为求对立事件的概率,进而求解.
因为事件A,事件B,事件E两两独立,
所以P(D)=1-P(,所以P(,
所以P(E)=1-P(.
思想方法 在解决概率问题时常利用互斥、对立事件的关系将求复杂事件的概率转化为求简单事件的概率,利用独立性将事件分为若干个简单的步骤解决,利用频率估计概率等,都涉及转化与化归思想的应用.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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