2025人教B版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1 指数式与对数式的恒等变形
1.(2022天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)=( )
A.1 B.
2.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=( )
A.25 B.5 C.
3.(2020全国Ⅰ文,8)设alog34=2,则4-a=( )
A.
考点2 指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质
4.(2023北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=-ln x B. f(x)=
C. f(x)=- D. f(x)=3|x-1|
5.(2023新课标Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)
6.(2023新课标Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=( )
A.-1 B.0 C. D.1
7.(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
8.(2021天津,3)函数y=的图象大致为( )
A B
C D
9.(2022北京,4)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有( )
A. f(-x)+f(x)=0 B. f(-x)-f(x)=0
C. f(-x)+f(x)=1 D. f(-x)-f(x)=
10.(2023全国甲文,11)已知函数f(x)=.记a=f,则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
11.(2020全国Ⅱ理,11)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
12.(2020全国Ⅰ理,12)若2a+log2a=4b+2log4b,则 ( )
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a
A.是偶函数,且在单调递增
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增
D.是奇函数,且在单调递减
14.(2020全国Ⅲ理,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a
16.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
17.(2022全国乙文,16)若f(x)=ln+b是奇函数,则a= ,b= .
18.(2021北京,15)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时,f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
考点3 函数的应用
19.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
20.(2020全国Ⅲ理,4改编)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区某种传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制病情,则t*约为(ln 19≈3)( )
A.60 B.63 C.66 D.69
21.(2020全国Ⅰ理,5改编)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
22.(多选题)(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
三年模拟练
应用实践
1.(2024山西运城期末)函数f(x)=的图象大致为( )
A B
C D
2.(2024辽宁鞍山期末)勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.用数学观点来对这句话重新诠释,我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%,一年后是1.01365;而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后“进步”是“落后”的≈1 481倍.如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落后”的10 000倍,大约需要经过(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.17天 B.19天
C.21天 D.23天
3.(多选题)(2024山东济宁期末)已知函数f(x)=log4(1+4x)-x,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)在[0,+∞)上单调递减
D.函数f(x)的值域为
4.(2024江苏盐城月考)已知f(x)=-2+log2,则不等式f(2x+2)+f(2x)<-4的解集为 ( )
A.
C.
5.(2022山东德州第一中学期末)若函数f(x)的图象上有不同两点M,N关于原点对称,则称点对[M,N]是函数f(x)的一对“姊妹点对”(点对[M,N]与[N,M]看作同一对“姊妹点对”).已知函数f(x)=则此函数的“姊妹点对”有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
6.(2024山东潍坊月考)已知f(x)=(a>0且a≠1)在R上单调,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B. D.(1,2)
7.(2024山东威海期末)已知函数f(x)=若a=f,c=f(log612),则( )
A.c
A.[6,+∞) B.(-∞,2]
C.
9.(多选题)(2024辽宁营口月考)已知函数f(x)=ln(+x)+x5+3,定义在R上的函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6,则( )
A.f(lg 7)+f=6
B.函数g(x)的图象关于点(3,0)对称
C.若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b>0
D.若函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则x1+y1+x2+y2+x3+y3=9
10.(2024海南海口期中)若对任意a∈[2,3],关于x的方程logax=b-x在区间[2,3]上总有实根,则实数b的取值范围是 .
11.(2022湖北恩施州期中)已知函数f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),以下结论正确的是 .(填序号)
①如果a=b,那么函数f(x)为奇函数;
②如果ab<0,那么f(x)为单调函数;
③如果ab>0,那么函数f(x)没有零点;
④如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为2.
12.(2024山东临沂期末)已知f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性;
(3)解关于x的不等式f[ln(x2-2x)]+f≤f(0).
13.(2022四川成都七中期中)对于在区间[m,n]上有意义的函数f(x),若满足对任意的x1,x2∈[m,n],有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则称f(x)在[m,n]上是“友好”的,否则就称f(x)在[m,n]上是“不友好”的.已知函数f(x)=log3.
(1)当a=1时,判断函数f(x)在[1,2]上是不是“友好”的;
(2)若关于x的方程=1的解集中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B
9.C 10.A 11.A 12.B 13.D 14.A 19.C 20.C
21.D 22.ACD
1.C 原式=log32=2,故选C.
2.C 由题意知b=log83=lolog23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=
22a-6b=(2a)2·2-6b=25×,故选C.
3.B ∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a=,故选B.
4.C 显然A,B不符合题意,C符合题意;对于D,因为f,f(1)=3|1-1|=30=1, f(2)=3|2-1|=3,显然f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,D不符合题意.故选C.
5.D 因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以≥1,即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞),故选D.
6.B 解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x),
即(x+a)ln=(-x+a)·ln,
即(x+a)ln=(-x+a)·ln,
∴x+a=-(-x+a)恒成立,
∴a=0.故选B.
解法二(特值法):易知f(x)的定义域为,由已知得 x∈-∞,-, f(-x)=f(x)恒成立,
∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln=(-1+a)ln 3,∴a=0.
经检验符合题意,故选B.
解法三:易知y=ln为奇函数,又f(x)为偶函数,
∴y=x+a为奇函数,∴a=0.故选B.
7.D 易知y=1.01x在R上单调递增,
所以1=1.010<1.010.5<1.010.6,即1
所以b>a>1>c,故选D.
8.B 设f(x)=,则函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除A,C;
当x∈(0,1)时,ln|x|<0,x2+2>0,所以f(x)<0,排除D.故选B.
9.C ∵f(x)==1.故选C.
10.A 因为f(x)=由y=et,t=-(x-1)2复合而成,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
因为,
所以a=f=b.易知c=f.
下面比较与2-的大小关系.
先比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较与4的大小,
易得(,42=16,又<2,所以8+4<16,故;
再比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较与4的大小,
易得(,42=16,又,所以9+6>16,故.
故,故a
设f(x)=2x-3-x,
因为函数t1=2x和t2=3-x分别是R上的增函数与减函数,所以f(x)在R上为增函数.
由2x-3-x<2y-3-y得x
12.B 易知2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),
令f(x)=2x+log2x,则f(a)
所以a<2b,故选B.
13.D x∈xx≠±,x∈R,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,
又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A,C;
当x∈时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),
∵y=ln(2x+1)与y=-ln(1-2x)在上均单调递增,∴f(x)在上单调递增,排除B;
当x∈时, f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln ,易知f(x)在-∞,-上单调递减,∴D正确.
14.A a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则=log53·log58<<1,
∴a
又∵55<84,∴8×55<85,两边同时取以8为底的对数得log8(8×55)
故选A.
15.答案 1
解析 f =2-1=1.
16.答案 1
解析 ∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),∴2a-,∴a=1.
当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
17.答案 -;ln 2
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.
由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,,
此时f(x)=ln+b,
∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即ln+b=ln +b=0,
∴b=-ln=ln 2.
综上可知,a=-,b=ln 2.
18.答案 ①②④
解析 令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
图c
图d
19.C 将L=4.9代入L=5+lg V中,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1,
所以V=10-0.1=≈0.8,
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.
故选C.
20.C I(t*)==0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,
故选C.
21.D 观察题中散点图可知,散点用光滑曲线连接起来后比较接近对数型函数的图象,
故选D.
22.ACD p0,p1,p2,p3均大于0,∵=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,
∴≥1,∴p1≥p2,故A正确;
∵=20×lg ≥10,∴lg,∴p2≥p3,故B错误;
∵=20×lg =100,∴p3=100p0,故C正确;
∵≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确.
故选ACD.
三年模拟练
1.A 2.D 3.BD 4.D 5.B 6.A 7.D 8.D
9.ACD
1.A 由题意得解得x≠0且x≠±,
所以函数f(x)的定义域为,关于原点对称,
因为f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除C,D;
当0
所以大约经过23天,“进步”是“落后”的10 000倍.
3.BD f(x)=log4(1+4x)-log4=log4(2-x+2x),
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以A错误,B正确;
令t=2x,则y=log4,令s=t+,则y=log4s,
当x∈[0,+∞)时,t∈[1,+∞),s=t+单调递增,
又y=log4s为增函数,所以y=log4为增函数,
又t=2x为增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,又f(x)为R上的偶函数,
所以f(x)≥f(0)=,所以f(x)的值域为,所以C错误,D正确.
4.D 令>0,解得-2
则0<<1,结合-1
5.B 根据题意可得f(x)的“姊妹点对”数即为函数y=ex-1(x<0)与y=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x(x<0)的图象的交点个数,画出两个函数的图象,如下图:
由图可得两个函数的图象有1个交点,故函数f(x)的“姊妹点对”有1对.
6.A 若f(x)在R上单调递增,
则解得a>1;
若f(x)在R上单调递减,
则无解.
故选A.
7.D 令g(x)=x2+2x+1,则g(x)在[0,+∞)上单调递增,
令h(x)=-x2+2x+1,则h(x)在(-∞,0)上单调递增,
又g(0)=h(0)=1,所以f(x)在R上单调递增.
因为函数y=log6x,y=log3x,y=log5x均在(0,+∞)上单调递增,
所以log612>log66=1,log3
所以log3.
故log3
所以f
x1,x2是方程|ln(-x)|=t的两个不等实根,则|ln(-x1)|=|ln(-x2)|,即ln(-x1)+ln(-x2)=0,
整理得x1x2=1,即x1=.
令|ln(-x)|=1,得x=-e或x=-,
因此-1
9.ACD 对任意的x∈R,+x>|x|+x≥0,
所以函数f(x)=ln(+x)+x5+3的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)+f(x)=ln(+x)+x5+3=ln(x2+1-x2)+6=6,
所以f(lg 7)+f=f(lg 7)+f(-lg 7)=6,A正确;
因为函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6,所以函数g(x)的图象关于点(0,3)对称,B错误;
令h(x)=ln(+x),该函数的定义域为R,关于原点对称,
因为h(-x)+h(x)=ln(+x)=ln(x2+1-x2)=0,所以h(-x)=-h(x),
所以函数h(x)为奇函数,
当x≥0时,u=+x单调递增,
又y=ln u为增函数,
所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,故函数h(x)在(-∞,0]上也单调递增,
因为函数h(x)在R上连续,
所以函数h(x)在R上为增函数,
又因为函数y=x5+3在R上为增函数,
所以函数f(x)在R上为增函数,
因为实数a,b满足f(a)+f(b)>6,所以f(a)>6-f(b)=f(-b),所以a>-b,即a+b>0,C正确;
易知函数f(x)与g(x)的图象都关于点(0,3)对称,
不妨设x1
10.答案 [3,4]
解析 logax=b-x b=logax+x,令f(x)=logax+x,
因为a>1,所以函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,又y=x在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x∈[2,3]时, f(x)∈[loga2+2,loga3+3],
由b=f(x)有解得loga2+2≤b≤loga3+3,
因此对任意a∈[2,3],loga2+2≤b≤loga3+3恒成立,
又函数g(a)=loga2+2=+2在[2,3]上单调递减,所以g(a)max=g(2)=3,
函数h(a)=loga3+3=+3在[2,3]上单调递减,所以h(a)min=h(3)=4,
所以实数b的取值范围是[3,4].
11.答案 ②③
解析 对于①,当a=b时,函数f(x)=ae-x+aex,则f(-x)=aex+ae-x=f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数,故①错误.
对于②,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=aex在R上单调递增,函数y=在R上单调递增,故函数f(x)=aex+在R上单调递增;
若a<0,b>0,则函数y=aex在R上单调递减,函数y=在R上单调递减,故函数f(x)=aex+在R上单调递减.
综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数,故②正确.
对于③,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2>0,当且仅当aex=be-x,即x=ln时取“=”;
当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2<0,当且仅当-aex=-be-x,即x=ln时取“=”.
综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点,故③正确.
对于④,若ab=1,则b=,
当a<0时,函数f(x)=-≤-2=-2,当且仅当-aex=-e-x,即x=ln时取“=”;
当a>0时,函数f(x)=aex+e-x≥2=2,当且仅当aex=e-x,即x=ln时取“=”.
综上,当ab=1时,函数f(x)没有最小值,故④错误.
12.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,解得a=1,
所以f(x)=,所以f(1)=, f(-1)=,
由f(-1)=-f(1)得2-b=1-2b,解得b=-1.
此时f(x)=,经检验满足f(-x)=-f(x).
所以a=1,b=-1.
(2)f(x)=,
任取x1,x2∈R且x1
(3)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0, f=f[-ln(x+4)]=-f[ln(x+4)],
所以不等式f[ln(x2-2x)]+f≤f(0)可化为f[ln(x2-2x)]≤f[ln(x+4)],
由(2)知f(x)在R上单调递增,所以ln(x2-2x)≤ln(x+4),又y=ln x在R上单调递增,
所以解得-1≤x<0或2
13.解析 (1)f(x)在[1,2]上是“友好”的.
当a=1时, f(x)=log3,
令u=+1,
因为y=log3u在(0,+∞)上单调递增,u=+1在[1,2]上单调递减,且u>0在[1,2]上恒成立,
所以f(x)=log3在[1,2]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=log32, f(x)min=f(2)=log3,
因为f(x)max-f(x)min=log32-log3<1,
所以由题意可得,当a=1时,函数f(x)在[1,2]上是“友好”的.
(2)=1即+a=(a-3)x+2a-4,且(a-3)x+2a-4≠1①,(a-3)x+2a-4>0②,
所以(a-3)x2+(a-4)x-1=0,即[(a-3)x-1](x+1)=0③.
当a=3时,方程③的解为x=-1,代入①②成立.
当a=2时,方程③的解为x=-1,代入①不成立.
当a≠2且a≠3时,方程③的解为x=-1或x=,
将x=-1分别代入①②,得a-1≠1且a-1>0,解得a>1且a≠2;
将x=分别代入①②,得2a-3≠1且2a-3>0,解得a>且a≠2,
此时若方程=1的解集中有且只有一个元素,则1
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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