2025人教B版高中数学必修第二册
第六章 平面向量初步
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.平面向量a=(1,-2),b=(2,m),若a∥b,则|a-b|=( )
A.
2.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且,则化简的结果为( )
A.0 B.
3.任意画一个正三角形,并把每条边三等分,分别以三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉,得到如图所示的六角星,点O是该六角星的中心.若,则=( )
A.- D.-1
4.如图,在重100 N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,则物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为 ( )
A.50 N,50 N B.50 N,100 N
C.50 N,50 N D.100 N,50 N
5.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若=0恒成立,则点M是△ABC的( )
A.垂心 B.重心
C.外心 D.内心
6.在△ABC中,点P是AB上一点,点Q满足,AQ与CP的交点为M.有下列四个命题:
甲:;
乙:;
丙:S△AMP∶S△ACP=1∶5;
丁:3.
如果只有一个是假命题,则该命题为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.在平面内,AB1⊥AB2,|,若|,则||的取值范围是( )
A.
C.
8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,P是以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点(如图所示).若(λ, μ∈R),则λ-μ的值是( )
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,则下列向量与相等的是( )
A.2
C.
10.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得 DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若,则( )
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有两个
11.如图,B是AC的中点,,P是平行四边形BCDE内一点(含边界),且(x,y∈R),则下列说法正确的是( )
A.当x=0时,y∈[2,3]
B.当P是线段CE的中点时,x=-
C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
D.x-y的最大值为-1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知A(-2,1),B(3,-2)两点,且,则点P的坐标为 .
13.若平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,则|a+b|的取值范围是 .
14.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上的两个动点,且,则x+y= ,的最小值为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知e1,e2为两个不共线的单位向量,a=2e1-e2,b=e1+λe2(λ∈R),且a与b共线.
(1)求λ的值;
(2)在①a=(,0),②b=这两个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上并解答.
问题:若 ,分别求e1和e2的坐标.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)如图所示,在△ABC中,=a,=b,D为AB的中点,E为CD上一点,且DC=4EC,AE的延长线与BC交于点F.
(1)请用向量a,b表示;
(2)请用向量a,b表示,并求出的值.
17.(15分)如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际的前进方向与水流的方向垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
18.(17分)已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.
(1)设a=(1,1),b=(1,0),求f(a)与f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标;
(3)证明:对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.
19.(17分)如图,点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上做匀速运动,当t=0时,点D,E,F分别从点A,B,C出发,以各自的定速度向点B,C,A前进,当t=1时,点D,E,F分别到达点B,C,A.
(1)证明:在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变;
(2)若△ABC的面积为S,求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1]).
答案与解析
第六章 平面向量初步
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D
7.D 8.A 9.ABC 10.CD 11.BCD
1.C 因为a∥b,所以1×m=-2×2,解得m=-4,所以a-b=(-1,2),所以|a-b|=.
2.A 因为,所以=0,所以=0,故选A.
3.B ,则,
∵.故选B.
4.C 设两根绳子的拉力分别为.
作 OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在 OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,所以∠OAC=90°,所以||·cos 30°=50 N,||·sin 30°=50 N,所以||=50 N,故两根绳子拉力的大小分别为50 N,50 N.
故选C.
5.B 可设直线l过点A,则=0,则=0恒成立.如图:
则直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心,故选B.
6.D 若甲为真命题,则点P为AB的中点,
由可得,,因为A,M,Q三点共线,所以,即,t∈R,
由C,M,P三点共线,可得),λ∈R,
所以,
所以,故S△AMP∶S△ACP=1∶5,故乙,丙为真命题.
由P,M,C三点共线,可设,即,m∈R,
由A,M,Q三点共线,可设,μ∈R,
所以即2,故命题丁为假命题.
综上,甲、乙、丙为真命题,丁为假命题.
7.D 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略).
设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则=(-x,b-y),
则=(a,b),即P(a,b),所以=(a-x,b-y).
由||=1,得(a-x)2+(-y)2=(-x)2+(b-y)2=1,
所以(a-x)2=1-y2≥0,(b-y)2=1-x2≥0.
由|,得(a-x)2+(b-y)2<,即0≤1-y2+1-x2<,
所以
故选D.
8.A 由题意得||=2,∠DAP=∠EAP=45°,
所以.
易证得四边形BCDE为平行四边形,故.
因为,所以,即故λ-μ=,
故选A.
9.ABC 因为在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,
所以,
因为,
所以2,所以A正确,
因为,
所以,所以B正确,
因为,
所以,所以C正确,
因为),所以D错误.
10.CD 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
取AB=1,∵=(λ-μ)·(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2.
对于选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,因此点P不一定是BC的中点,故A错误.对于选项B,当点P与点B重合或点P为AD的中点时,均满足λ+μ=1,故B错误.对于选项C,只有当点P∈BC或P∈CD时,才可能使λ+μ=3.当点P∈BC时,由当P∈CD时,由=(1,1),∴只有当点P与点C重合时,满足λ+μ=3,故C正确.对于选项D,只有当点P∈BC或P∈AD时,才可能使λ+μ=.当点P∈BC时,由当P∈AD时,由故满足λ+μ=的点P有两个,故D正确.
故选CD.
11.BCD 当x=0时,,此时点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误;
当P是线段CE的中点时,,所以x=-,故B正确;
当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内一点(含边界),故点P的轨迹是线段BC,故C正确;
因为,所以x≤0,y≥1,当点P与B重合时,x=0,y=1,此时x最大,y最小,所以x-y最大,即(x-y)max=-1,故D正确.故选BCD.
12.答案
解析 设P(x,y),由题可知,=(3-x,-2-y),
因为,所以故点P的坐标为.
13.答案 [1,3]
解析 易得|a+b|≥||a|-|b||=1,当且仅当a,b共线且反向时,等号成立;
|a+b|≤|a|+|b|=3,当且仅当a,b共线且同向时,等号成立.
综上所述,1≤|a+b|≤3.
14.答案 2;
解析 设,其中m,n,λ,μ∈R.
∵B,D,E,C四点共线,∴m+n=1,λ+μ=1,
∵,且,
∴x=m+λ,y=n+μ,
∴x+y=m+n+λ+μ=2.
显然x>0,y>0,所以(x+y)·,当且仅当且x+y=2,即x=时取等号.故.
15.解析 (1)由a与b共线,可设b=μa,μ∈R,又a=2e1-e2,b=e1+λe2,所以e1+λe2=2μe1-μe2,(2分)
所以(5分)
(2)选择①.设e1=(m,n),因为a=2e1-e2=(,0),所以e2=(2m-,2n),可得(11分)
当e1=时,e2=(0,1);当e1=时,e2=(0,-1).(13分)
选择②.设e1=(m,n),因为b=e1-e2=,所以e2=(2m-,2n),可得(11分)
当e1=时,e2=(0,1);当e1=时,e2=(0,-1).(13分)
16.解析 (1)因为,所以),
所以.(4分)
因为D为AB的中点,所以a,
所以a+b.(7分)
(2)因为B,F,C三点共线,所以可设,t∈R,
所以),即,即=tb+(1-t)a,(10分)
因为A,F,E三点共线,所以存在实数λ,使得a+b,
因为a,b不共线,所以
所以,(13分)
所以a+b,的值为7,的值为6.(15分)
17.解析 设=v0,=v1,=v2,
由题意可知v2=v0+v1,||=1,易得四边形OACB为平行四边形.(2分)
(1)当此人朝正南方向游去时,四边形OACB为矩形,且|,如图①所示,
图①
则在Rt△OAC中,|v2|=OC==2,(4分)
所以tan α=tan∠AOC=,又0°<α<90°,所以α=60°.(6分)
故此人实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2 m/s.(7分)
(2)由题意知∠OCB=90°,且|v2|=||=1,如图②所示,(9分)
图②
则在Rt△OCB中,|v1|=OB==2,tan∠BOC=,(13分)
又0°<∠BOC<90°,所以∠BOC=30°,
则β=90°+30°=120°.(14分)
故此人游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2 m/s.(15分)
18.解析 (1)∵a=(1,1),b=(1,0),
∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),(2分)
f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(4分)
(2)设c=(s,t),则f(c)=(t,2t-s)=(p,q),
∴(9分)
∴c=(2p-q,p).(10分)
(3)证明:设d=(a1,a2),e=(b1,b2),(11分)
则md+ne=(ma1+nb1,ma2+nb2),
∴f(md+ne)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).(13分)
∵mf(d)=m(a2,2a2-a1),nf(e)=n(b2,2b2-b1),
∴mf(d)+nf(e)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1)=f(md+ne).(16分)
∴对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.(17分)
19.解析 (1)证明:设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),△DEF的重心为O(x0,y0),
由题意可得,在某一时刻t,,(3分)
则D(txB+(1-t)xA,tyB+(1-t)yA),E(txC+(1-t)xB,tyC+(1-t)yB),F(txA+(1-t)xC,tyA+(1-t)yC).(5分)
由三角形的重心坐标公式,得x0=,
把点D,E,F的坐标代入x0,y0中,求得△DEF的重心坐标为,与t无关,即在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变.(8分)
(2)∵=1-t,
∴S△DFA∶S=(AD·AF)∶(AB·AC)=t(1-t),
即S△DFA=t(1-t)S,(11分)
同理,S△EFC=S△DEB=t(1-t)S,
∴S△DEF=S-(S△DFA+S△DEB+S△EFC)=(3t2-3t+1)S=S,t∈[0,1],(15分)
∴当t=时,△DEF的面积取得最小值,为S.(17分)
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