2025人教B版高中数学必修第二册
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
基础过关练
题组一 对共线向量基本定理的理解及应用
1.平面向量a,b共线的充要条件是( )
A.a,b方向相同
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
C. λ∈R,使b=λa
D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0
2.(2024广东广州期中)已知向量a与b不共线.
(1)若=a+7b,=3a+4b,=a-10b,证明A,B,D三点共线;
(2)若a+kb与(k+1)a+b共线,求实数k的值.
题组二 对平面向量基本定理的理解
3.下列说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可组成该平面内向量的基底;
②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面内向量的基底;
③零向量不可以作为基底中的向量.
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
4.(多选题)(2023山东潍坊高密第三中学月考)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
5.(2024山东日照期中)设{e1,e2}是平面内向量的一组基底,则下列不能组成平面内向量的一组基底的是( )
A.e2和e1+e2 B.e1和e1-e2
C.2e1-4e2和-e1+2e2 D.e1+2e2和2e1+e2
题组三 用基底表示向量
6.(2022山东新泰第一中学质检)若=a,=b,(λ∈R,且λ≠-1),则=( )
A.a+λb B.λa+(1-λ)b
C.λa+b D.a+b
7.(2024福建三明期中)如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE和BD相交于点F.记=a,=b,则( )
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
8.(2023山东滨州期末)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4CD,点E在线段CB上,且CE=3EB,设=a,=b,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
9.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
题组四 平面向量基本定理的应用
10.(2024山西运城期中)如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点,若,则实数m的值为( )
A.
11.(2024河南郑州期中)在△ABC中,D是CB延长线上一点,E是AD的中点.若(λ,μ∈R),则( )
A.λ=2μ B.λ=-2μ C.μ=2λ D.μ=-2λ
12.(2024江苏南通期中)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,点P是四边形ABDC内任意一点(含边界),且(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4]
13.(多选题)(2023广东广州协和中学期中)在等边三角形ABC中,,AD与BE交于F,则下列结论正确的是( )
A.
C.
14.(2023湖北华中师大一附中期中)在△ABC中,点D满足BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是 .
15.(2024辽宁葫芦岛期中)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点.
(1)用;
(2)求;
(3)设(x,y∈R),求xy的取值范围.
能力提升练
题组一 共线向量定理的应用
1.已知向量a,b,c中的任意两个都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=( )
A.a B.b C.c D.0
2.(多选题)(2023河南省实验中学月考)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若,则
B.若,则点M,B,C三点共线
C.若点M是△ABC的重心,则=0
D.若且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
3.如图,在平行四边形ABCD中,AE=ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若,则实数λ= .
4.(2024四川绵阳检测)如图,在△ABC中,,P为CD上一点,且满足(m∈R),则m的值为 .
题组二 平面向量基本定理的应用
5.(2022山东烟台栖霞第一中学月考)数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若=a,=b,,则=( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
6.(2024福建福州检测)在△ABC中,,E是AB的中点,EF与AD交于点P,若(m,n∈R),则m+n=( )
A. D.1
7.(2024山东德州期中)已知△ABC中,M为BC边上一个动点,若(x,y∈R),则的最小值为 .
8.(2023重庆辅仁中学质检)如图,在△ABC中,,BD与CE交于点O.
(1)若(m,n∈R),求mn的值;
(2)设△ABC的面积为S,△OBC的面积为S',求的值.
答案与分层梯度式解析
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
基础过关练
1.D 3.B 4.AD 5.C 6.D 7.A 8.C 9.D
10.A 11.A 12.C 13.ABC
1.D 对于A,向量a,b共线 / a,b方向相同.
对于B,向量a,b共线 / a,b两向量中至少有一个为零向量.
对于C,当a=0,b≠0时,a,b共线,但不存在λ∈R,使得b=λa.
对于D,若a=0,则存在λ1≠0,λ2=0,使得λ1a+λ2b=0,若a≠0,则由a,b共线,知存在实数λ,使得b=λa,即λa-b=0,符合λ1a+λ2b=0的形式,必要性成立;当存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0时,不妨设λ2≠0,则b=-a,即a,b共线,充分性成立.故选D.
2.解析 (1)证明:∵=2a+14b=2,又有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)设λ(a+kb)=(k+1)a+b,λ∈R,即λa+λkb=(k+1)a+b,则.
3.B 同一个平面内任意两个不共线的向量都可以组成该平面内向量的基底,故①是错的,②③是正确的,故选B.
4.AD 由平面向量基本定理可知A、D正确;
对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面内向量的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;
对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.故选AD.
5.C 对于A,令e2=m(e1+e2),m∈R,则故m不存在,∴e2,e1+e2不共线,即能组成平面内向量的一组基底,A不符合题意;
对于B,令e1=n(e1-e2),n∈R,则故n不存在,∴e1,e1-e2不共线,即能组成平面内向量的一组基底,B不符合题意;
对于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2),
∴2e1-4e2和-e1+2e2共线,即不能组成平面内向量的一组基底,C符合题意;
对于D,令e1+2e2=t(2e1+e2),t∈R,则无解,故t不存在,∴e1+2e2,2e1+e2不共线,即能组成平面内向量的一组基底,D不符合题意.
6.D ∵),
∴(1+λ),
∴a+b.
7.A 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于点F,所以△ABF∽△EDF,
又E是CD的中点,
所以,所以),
所以a-b.
8.C 因为AB∥CD,AB=4CD,所以,
因为CE=3EB,所以,
则a+b.
故选C.
9.D 连接OC,OD,CD,如图,由点C,D是半圆弧的两个三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,则△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以a+b,
故选D.
10.A ∵,
又,
∵B,P,D三点共线,∴m+.
11.A ,所以6,
又λ,所以λ=-2,μ=-1,所以λ=2μ.
12.C 根据题意,将图形特殊化,设AD垂直平分BC于点O,因为△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,所以DO=2AO,
当点P与点A重合时,=0,此时λ=μ=0,所以λ+μ的最小值为0;
当点P与点D重合时,,此时λ=μ=,所以λ+μ的最大值为3,所以λ+μ的取值范围为[0,3].
13.ABC 对于A,∵,∴D为BC的中点,
∴),A正确;
对于B,∵,
∴,B正确;
对于C,由E,F,B三点共线,可设,λ∈R,
由A,F,D三点共线,可设,x∈R,
则
∴,C正确;
对于D,,D错误.
14.答案
解析 由题可知,在△ABC中,,
∴,
由点E在线段AD上移动,可设,0≤k≤1,
∴,
又
∴t=(λ-1)2+μ2=+1,0≤k≤1,
∴当k=时,t取得最小值,最小值为.
15.解析 (1)易得②,
因为M为线段BC的中点,所以,
①+②得2,
所以.
(2)设,t∈R,
因为B,N,D三点共线,所以=1,解得t=.
所以,所以=4.
(3)由题意,可设,则.
又,
所以所以y=.
所以xy=(y-1)y=y2-y=,
因为0≤m≤,所以1≤y≤,
易知g(y)=上单调递增,
所以当y=1时,g(y)取最小值,即(xy)min=0,当y=时,g(y)取最大值,即(xy)max=,所以xy的取值范围为.
能力提升练
1.D 2.ACD 5.B 6.A
1.D 依题意,设a+b=mc,b+c=na(m,n∈R),则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na,
所以(1+m)c=(1+n)a.
又a与c不共线,所以
故a+b=-c,即a+b+c=0.故选D.
2.ACD 对于A,) ,故A正确;
对于B,若M,B,C三点共线,则存在唯一实数λ,使得,
则) ,
∵无解,故B错误;
对于C,如图,延长AM,交BC于点D,∵M是△ABC的重心,∴D是BC的中点,
则,
∴=0,故C正确;
对于D,∵且x+y=,
∴3,3x+3y=1,
设,则,3x+3y=1,则B,C,E三点共线,
由可知ME=AE,故△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.
3.答案
解析 取=a,=b,{a,b}作为平行四边形所在平面内向量的一组基底.由题知a+b.
因为E,G,B三点共线,所以可设,μ∈(0,1),则)=μa+b.
所以=μ且,解得λ=.
4.答案
解析 因为,所以,所以,
又C,P,D三点共线,所以m+=1,解得m=.
5.B )
=,
∴a+b.
6.A 如图,因为,所以,则.
因为A,P,D三点共线,
所以(λ∈R).
因为,所以.
因为E是AB的中点,所以.
因为E,P,F三点共线,所以k·(k∈R),
联立所以m=,
故m+n=.
7.答案 16
解析 由题意得,M,B,C三点共线,所以x+3y=1.
显然x,y>0,
所以+10≥2+10=16,当且仅当,即x=y=时,等号成立.所以的最小值为16.
8.解析 (1)因为B,O,D三点共线,
所以,
又,所以.
因为C,O,E三点共线,所以,
又,所以.
所以所以mn=.
(2)延长AO,与BC交于点F.
因为B,F,C三点共线,
所以设,t∈R.
由(1)知,
又,所以设,λ∈R,
所以,
所以,
所以,则.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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