2025人教B版高中数学必修第二册
5.4 统计与概率的应用
基础过关练
题组 统计与概率的实际应用
1.从一群玩游戏的小孩儿中随机抽取20人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏,过了一会儿,再从中抽取30人,发现其中有5个小孩儿曾分得过苹果,估计玩游戏的小孩儿人数为( )
A.80 B.100
C.120 D.无法计算
2.(2022山东滨州期末)有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的次品率为10%,乙厂生产的次品率为20%,丙厂生产的次品率为30%,生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%,30%,20%,任取一件产品,则取得的产品为次品的概率是( )
A.0.83 B.0.79 C.0.21 D.0.17
3.(2024山东济宁期中)采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率,先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示击中目标,5,6,7,8,9,0表示未击中目标,以三个随机数为一组,代表三次发射的结果,经随机数模拟产生了20组随机数:
107 956 181 935 271 832 612 458
329 683 331 257 393 027 556 498
730 113 537 989
根据以上数据,估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为( )
A.
4.为了解某工厂的1 000名工人的生产情况,从中随机抽取100名工人进行统计,得到如下频率分布直方图,由此可估计该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的工人人数为 .
5.假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若两次射击中至多命中一次的概率是,则该射手每次射击的命中率为 .
6.对于高中生上学是否应该带手机,有调查者进行了随机调查,调查者向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗 (2)你上学时是否带手机 学生在被调查时,先背对着调查人员抛掷一枚均匀的硬币(保证调查人员看不到硬币的抛掷结果),如果正面向上,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实进行了回答.
某次调查活动共有800名高中生参与了调查,则回答为“不是”的人数的最大值是 .
7.(2024贵州贵阳期中)某学会创办了一个微信公众号,设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力,后台统计了反映读者阅读情况的一些数据,其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的x%(x=10,20,30,…,100)时退出该页面的读者占阅读该文章的所有读者的百分比,例如:阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%,现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章,分别记为文章A,B,其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率估计概率.
(1)随机选取一名文章A的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率;
(2)现用分层随机抽样的方法,在阅读量没有达到文章总量的30%的文章B的读者中随机抽取6人,任选其中2人进行访谈,求这两人退出页面时的阅读量都为文章总量的10%的概率.
8.(2022湖南湘阴期末)为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图:
组别 参赛人数 速度/(千米/时)
少年组 300 [6,8)
成年组 600 [8,10)
专业组 b [10,12]
(1)求a,b的值;
(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组的数据用该组区间的中点值作代表,最终计算结果精确到0.01);
(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人接受采访,求接受采访的2人都来自成年组的概率.
能力提升练
题组 统计与概率的实际应用
1.(2024浙江杭州期中)某山村海拔较高,交通极为不便,被称为“云端上的村庄”,是建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶,扶贫组在实地调研后,立足当地独特优势,大力发展乡村经济,带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况,该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了调查,得到如下表所示的频数表:
年收入 /千元 [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村的贫困户的年收入的众数、75%分位数;
(2)用分层抽样的方法从这100户贫困户中抽取20户贫困户进行帮扶,若再从抽样调查年收入(千元)在[6,8)和[8,10)内的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象,求至少有一户来自年收入在[8,10)内的概率;
2.(2023广东珠海段考)某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级:
问卷得分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100]
专项心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.
(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数;
(2)在专项心理等级为有隐患的市民中,老年人占,中青年人占,现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因,并从中选取2人列为长期关注对象,求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率;
(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案:以抽取样本为例,若市民心理健康指数的平均值不低于0.8,则只需发放心理指导资料,否则需要举办心理健康大讲堂.根据你所学的统计知识,判断该市是否需要举办心理健康大讲堂,并说明理由.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,心理健康指数=
3.(2023宁夏吴忠中学期末)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)现按分层抽样的方法从质量在[200,300)内的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果来自同一质量区间的概率;
(3)某经销商来收购芒果,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约有10 000个,经销商提出以下两种收购方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收购;
方案②:质量小于250克的芒果以2元/个收购,质量大于或等于250克的芒果以3元/个收购.
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.
4.(2024湖北郧阳中学期中)2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均分和25%分位数;
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人,担任本市的宣传者.
①现计划从第一组和第二组抽取的人中,再随机抽取2名作为组长.求选出的两人来自不同组的概率;
②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均分和方差分别为62分和40,第四组面试者的面试成绩的平均分和方差分别为80分和70,据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
答案与分层梯度式解析
5.4 统计与概率的应用
基础过关练
1.C 2.D 3.B
1.C 设玩游戏的小孩儿共有x人,由题意得,解得x=120.
2.D 由题意可知,任取一件产品,其为次品的概率是0.1×0.5+0.2×0.3+0.3×0.2=0.17.
3.B 三次发射至少有一次击中目标的有:107,181,935,271,832,612,458,329,683,331,257,393,027,498,730,113,537,共17组,
所以该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为.
4.答案 150
解析 根据题中频率分布直方图可知,该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的频率为0.010×10+0.005×10=0.15,
∴估计该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的工人人数为
1 000×0.15=150.
5.答案
解析 设该射手“第i次射击命中目标”为事件Ai(i=1,2),Ai相互独立,P(Ai)=p,“两次射击中至多命中一次”为事件A,则A=A2,
依题意得P(A)=P(A2)=(1-p)2+2p·(1-p)=,又0≤p≤1,所以p=.
6.答案 800
解析 ∵共有800名高中生参与了调查,
∴回答为“不是”的人数的最大值是800.
7.解析 (1)由题图可知,对于文章A的读者,f(90)+f(100)=0.3+0.1=0.4,
因此随机选取一名文章A的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.4.
(2)阅读量没有达到文章总量的30%的文章B的读者,即阅读量为该篇文章总量的10%和20%时退出该页面的读者,易得阅读跳转率均为5%.
因此抽取的6人中有3人阅读至文章总量的10%时退出,有3人阅读至文章总量的20%时退出.记阅读至文章总量的10%的3位读者的编号分别为A,B,C,阅读至文章总量的20%的3位读者的编号分别为a,b,c,
记事件M=“这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%”,
任取2人的样本空间为Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},共15个样本点,且每个样本点是等可能发生的,其中事件M={AB,AC,BC},共3个样本点,
由古典概型的概率公式可得,P(M)=,
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
8.解析 (1)由题中频率分布直方图可知0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1,
∴a=0.2.
由题知少年组人数为300,对应的频率为0.1+0.15=0.25,
故参赛的总人数n==1 200,
∴b=1 200-300-600=300.
(2)平均速度为6.5×0.1+7.5×0.15+8.5×0.2+9.5×0.3+10.5×0.15+11.5×0.1=9.05(千米/时),
∴估计本次大赛所有选手的平均速度为9.05千米/时.
(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600、300.
设在成年组和专业组抽取的人数分别为x,y,则,∴x=4,y=2.
∴通过分层抽样在成年组中抽取4人,在专业组中抽取2人.
设成年组中的4人分别为A,B,C,D,专业组中的2人分别为a,b.
从6人中抽取2人接受采访的所有结果为AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共15种.
接受采访的2人均来自成年组的所有结果为AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种.
故接受采访的2人都来自成年组的概率为.
能力提升练
1.解析 (1)众数为=11(千元),∵前三组的频率之和为0.15+0.1+0.35=0.6,前四组的频率之和为0.6+0.2=0.8.
∴75%分位数在[12,14)内,
设75%分位数为t千元,则有,解得t=13.5,即75%分位数为13.5千元.
(2)由题表及分层抽样可知抽取的年收入在[6,8)内的户数为×20=3,年收入在[8,10)内的户数为×20=2,记年收入在[6,8)内的3名贫困户分别为A,B,C,年收入在[8,10)内的2名贫困户分别为a,b,
则从中随机抽取2户的所有可能结果为:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种,其中抽到至少有一名在[8,10)内的贫困户的可能结果为:Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7种,故年收入在[8,10)内的贫困户至少有1人被抽到的概率P=.
2.解析 (1)由题图得(0.002+0.004+0.014+0.02+a+0.025)×10=1,解得a=0.035.
设总共调查了x人,则10×(0.014+0.02)x=680,解得x=2 000,所以专项心理等级为有隐患的人数为10×(0.002+0.004)×2 000=120.
(2)由题意得,老年人抽取4人,分别记为a,b,c,d,中青年人抽取2人,分别记为A,B.
从6人中随机抽取2人,可能的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15种,其中至少有一位老年人被抽到的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),
(c,d),共14种,故至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率P=.
(3)由题图得,市民心理健康问卷调查的平均得分为45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7(分),所以市民心理健康指数的平均值为=0.807>0.8,所以只需发放心理指导资料,不需要举办心理健康大讲堂.
3.解析 (1)由题图得,这组数据的平均数=0.001×50×125+0.003 4×50×175+0.004×50×225+0.006×50×275+0.005×50×325+0.000 6×50×375=256(克).
(2)易知抽取的质量在[200,250)内的芒果有2个,分别记为a1,a2,质量在[250,300)内的芒果有3个,分别记为b1,b2,b3.
从这5个芒果中随机抽取2个,有10种不同情况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).
其中“2个芒果来自同一质量区间”的情况有(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共4种,
故2个芒果来自同一质量区间的概率为.
(3)方案①:收入y1=×10 000×9=×10 000×9=23 040(元).
方案②:质量小于250克的芒果的收入为(0.001+0.003 4+0.004)×50×
10 000×2=8 400(元),
质量不小于250克的芒果的收入为(0.006+0.005+0.000 6)×50×
10 000×3=17 400(元),
故方案②的收入y2=8 400+17 400=25 800(元).
因为23 040<25 800,所以选择方案②获利更多.
4.解析 (1)由题意可知
解得
可知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,
所以平均分等于50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分),
设25%分位数为x分,
因为0.05+0.25=0.30>0.25,
所以0.05+(x-55)×0.025=0.25,解得x=63,
故25%分位数为63分.
(2)①因为[45,55)和[55,65)的频率的比值为,
故在[45,55)和[55,65)中分别选取1人和5人,分别编号为A和a,b,c,d,e,
则在这6人中随机抽取2人的样本空间Ω包含的样本点有:Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,
共15个,即n(Ω)=15,
记事件B为“两人来自不同组”,则B包含的样本点有:Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,共5个,即n(B)=5,
所以P(B)=.
②设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均分与方差分别为分,分,,且两组频率的比值为,
所以第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均分=70(分),第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差s2=,
故估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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