2025人教B版高中数学必修第二册
5.3.2 事件之间的关系与运算
基础过关练
题组一 事件之间的关系
1.(2024湖南湘西期末)湘西州有甲草原:龙山县八面山空中草原,乙草原:泸溪县滨江大草原,暑假期间两草原供游客休闲旅游,记事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一个草原”,事件G=“至多去一个草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件,且是对立事件
C.F与G是互斥事件
D.G与I是互斥事件
2.(2024广西柳州期中)从数学必修一、二和政治必修一、二这四本书中任取两本书,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一本政治书与都是数学书
B.至少有一本政治书与都是政治书
C.至少有一本政治书与至少有一本数学书
D.恰有一本政治书与恰有两本政治书
3.(多选题)(2024吉林长春期末)一个盒子中装有5支笔,其中3支一等品,2支二等品,大小质地完全相同,若从中随机取出3支,则与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有 ( )
A.取出的3支笔中,至少有2支一等品
B.取出的3支笔中,至多有1支二等品
C.取出的3支笔中,既有一等品也有二等品
D.取出的3支笔中,没有二等品
4.(多选题)抛掷一个均匀的骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件P,“向上的点数是1,2”为事件Q,“向上的点数是1,2,3”为事件R,“向上的点数是1,2,3,4”为事件S,则下列关于事件P,Q,R,S的判断正确的有( )
A.P与Q是互斥事件,但不是对立事件
B.P与R是对立事件
C.P与S是互斥事件
D.R与S既不是对立事件,也不是互斥事件
5.在掷一个均匀的骰子,观察其向上面的点数的试验中,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.判断下列各组事件的关系:
B H;D J;E I;A G.
题组二 事件的运算
6.(2024福建宁德期末)设A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式一定正确的是( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.P(AB)=P(A)+P(B)
D.P(A∪B)=P(A)P(B)
7.(2023北京丰台第十二中学期中)在一次随机试验中,3个事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法中正确的是( )
A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1+A2+A3是必然事件
C.P(A2+A3)=0.8
D.P(A1+A2)≤0.5
8.(2024湖南怀化期末)已知事件A与事件B互斥,记事件为事件B的对立事件.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(A+)=( )
A.0.6 B.0.8 C.0.2 D.0.48
9.(2023黑龙江佳木斯一中开学调研)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=( )
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9
10.(2022浙江宁波期末)从某班学生中任选两人参加农场劳动,若选中两人都是男生的概率是,选中两人都是女生的概率是,则选中两人中恰有一人是女生的概率为( )
A.
C.
11.(多选题)(2022广东佛山大沥高级中学月考)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人 所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
12.某电路如图所示,用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A= .(用B,C,D间的运算关系式表示)
13.(2022浙江宁波月考)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 .
14.(2023云南大理质检)某次联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中有四种共16个不同颜色且形状、大小完全相同的小球,分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖.从中任取一个小球,中二等奖或三等奖的概率为,小华同学获得一次抽奖机会.
(1)求他不能中奖的概率;
(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是,试计算黄球的个数.
答案与分层梯度式解析
5.3.2 事件之间的关系与运算
基础过关练
1.B 2.D 3.ABD 4.ABD 6.B 7.D 8.B 9.C
10.D 11.AD
1.B 依题意得基本事件有“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”“去甲、乙两个草原”,共四个,
事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“去甲、乙两个草原”三个基本事件;
事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三个基本事件;
事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两个基本事件,
则事件E与G,F与G,G与I有可能同时发生,均不是互斥事件,故A、C、D错误;
事件F与I不可能同时发生,且发生的概率之和为1,因此是互斥事件,且为对立事件,故B正确.
2.D 选出的两本书的所有可能结果有:“两本政治书”“两本数学书”“一本数学书和一本政治书”,
“至少有一本政治书”包含事件:“两本政治书”“一本数学书和一本政治书”.
对于A,事件“至少有一本政治书”与事件“都是数学书”是对立事件,故A错误;
对于B,事件“至少有一本政治书”与事件“都是政治书”是包含关系,故B错误;
对于C,事件“至少有一本数学书”包含事件:“两本数学书”“一本数学书和一本政治书”,因此两个事件都包含事件“一本数学书和一本政治书”,不是互斥事件,故C错误;
对于D,“恰有一本政治书”表示事件“一本数学书和一本政治书”,与事件“恰有两本政治书”是互斥事件,但是不对立,故D正确.
3.ABD 对于A,事件“取出的3支笔中,至少有2支一等品”包括“取出2支一等品和1支二等品”“取出3支一等品”两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故A正确;
对于B,事件“取出的3支笔中,至多有1支二等品”包括“取出2支一等品和1支二等品”“取出3支一等品”两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故B正确;
对于C,事件“取出的3支笔中,既有一等品也有二等品”包括“取出1支一等品和2支二等品”“取出2支一等品和1支二等品”两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同时发生,它们不是互斥事件,故C不正确;
对于D,事件“取出的3支笔中,没有二等品”指“取出3支一等品”,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故D正确.
故选ABD.
4.ABD 在A中,P与Q不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件,但不是对立事件,故A正确;
在B中,P与R不能同时发生,且两个事件包含所有的可能事件,故P与R是对立事件,故B正确;
在C中,P与S能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
在D中,R与S能同时发生,也能同时不发生,既不是对立事件,也不是互斥事件,故D正确.故选ABD.
5.答案 ; ; ;=
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H;同理,D J,E I;易知事件A与事件G相等,即A=G.
6.B 因为A,B为两个互斥事件,P(A)>0,P(B)>0,
所以A∩B= ,即P(AB)=0,且P(A∪B)=P(A)+P(B).
7.D A1,A2,A3不一定是互斥事件,故A,B错误;P(A2+A3) ≤P(A2)+P(A3)=0.8,故C错误;P(A1+A2)≤P(A1)+P(A2)=0.5,故D正确.
8.B 因为事件A与事件B互斥,所以A ,
所以P(A+)=1-P(B)=0.8.
9.C ∵P(C)=0.6,B与C对立,
∴P(B)=1-P(C)=0.4,
又P(A)=0.3,A与B互斥,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.
10.D 记“选中两人都是男生”为事件A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件C,易知A,B为互斥事件,A∪B与C为对立事件,
又P(A∪B)=P(A)+P(B)=,
所以P(C)=1-P(A∪B)=1-.
11.AD 任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据互斥事件的概率加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型血、AB型血的人输血,故所求概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人知,D正确.
故选AD.
12.答案 B∩(C∪D)(或(BC)∪(BD))
解析 开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合且开关Ⅰ闭合时电灯变亮,因此A=B∩(C∪D)=(BC)∪(BD).
13.答案
解析 由题意得
即
由题意得P(A)=.
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A+B+C)=1-P(B+C)-P(A)=1-,
∴他不能中奖的概率为.
(2)∵P(A+B)=P(A)+P(B)=,
∴P(B)=.
∵P(B+C)=P(B)+P(C)=,
∴P(C)=,
∴中三等奖的概率为,
∴黄球的个数为16×=4.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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