2025人教B版高中数学必修第二册
5.1.2 数据的数字特征
基础过关练
题组一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1.(2022北京丰台期中)一个车间里有10名工人装配同种电子产品,现记录他们某天装配电子产品的件数如下:10,12,9,7,10,12,9,11,9,8,若这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b
2.(2024陕西榆林期中)某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了10个班的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的80%分位数为( )
A.92 B.93 C.92.5 D.93.5
3.在从小到大排列的数据20,21,25,31,31,■,34,42,43,45,47,48中,有一个数据被污染而模糊不清,但曾计算得该组数据的最小值与中位数之和为53,则被污染的数据为( )
A.31 B.33 C.32 D.34
4.(2024福建厦门期中)若数据x1,x2,…,x12的平均数为10,则新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
已知某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表所示:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理
人数 1 1 2 1
月工资/元 55 000 50 000 35 000 20 000
职务 经理 管理员 职员
人数 5 3 20
月工资/元 10 000 8 000 4 500
(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数;(精确到整数)
(2)假设副董事长的月工资从50 000元提升到100 000元,董事长的月工资从55 000元提升到200 000元,求新的平均数、中位数、众数;(精确到整数)
(3)哪个统计量更能反映该公司职工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法.
题组二 极差、方差与标准差
6.在某项体育比赛中,七位裁判为某一选手打出的分数如下:90,89,90,95,93,94,93,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.92,2 B.92,2.8
C.93,2 D.93,2.8
7.(2024重庆北碚期中)小张、小陈为了了解自己的数学学习情况,他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析,其中小张全年测试的平均成绩是135分,全年测试成绩的标准差为6.3;小陈全年测试的平均成绩是130分,全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是( )
A.小张数学测试的最高成绩一定比小陈高
B.小张数学成绩的极差较小陈的大
C.小陈比小张的测试发挥水平更稳定
D.平均来说,小陈比小张数学成绩更好
8.(2022山东威海期末)一次投篮练习后,体育老师统计了第一小组10名同学的命中次数作为样本,计算出该样本的平均数为6,方差为3,后来这个小组又增加了一名同学,投篮命中次数为6,那么这个小组11名同学投篮命中次数组成的新样本的方差是( )
A.3 B.
9.(2023重庆渝中期末)一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的极差和标准差分别为( )
A.9,9 B.8,4
C.9,3 D.5,2
10.(多选题)(2022辽宁名校联盟月考)下列说法正确的是( )
A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
B.将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变
C.一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],则这组数据的总和等于60
D.数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为2s2
11.(多选题)(2022山东淄博模拟)某人投掷骰子5次,记录向上的点数,由于记录遗失,只知道这5个点数的平均数为3,方差不超过1,则这5个点数中( )
A.众数可能为3 B.中位数可能为2
C.极差可能为2 D.最大点数可能为5
12.(2024四川成都期中)某班的数学平均分为125分,方差为.经分析发现有三名同学的成绩录入有误,A同学实际成绩为137分,被错录为118分;B同学实际成绩为115分,被错录为103分;C同学实际成绩为98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则的大小关系为 .
13.某人5次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为m,n,5,6,4.已知这组数据的平均数为5,方差为2,则|m-n|= .
题组三 数据的数字特征的应用
14.(2024北京密云期末)在两块面积相等的试验田中,分别种植甲、乙两种水稻,观测它们连续6年的产量(单位:kg)如表所示:
甲、乙两种水稻连续6年的产量
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年
甲 2 890 2 960 2 950 2 850 2 860 2 890
乙 2 900 2 920 2 900 2 850 2 910 2 920
根据以上数据,下列说法正确的是( )
A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
15.一次数学知识竞赛中,两组学生的成绩(单位:分)如下表:
成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由.
能力提升练
题组一 数据的数字特征
1.(多选题)(2024江西景德镇期中)某市举行高中英语演讲比赛,已知12位评委对某位选手评分数据具体如下:7,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则( )
A.中位数为8.3
B.极差为3
C.75%分位数为9.15
D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分
2.(2024湖北荆州中学期中)一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,4,x,7,8,若该组数据的60%分位数是众数的倍,则该组数据的方差是( )
A.5 B.
3.(多选题)某篮球爱好者在一次篮球训练中需进行五轮投篮,每轮投篮5次.已知其前四轮投中的次数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列可能发生的是( )
A.五轮投中次数的平均数是3,极差是3
B.五轮投中次数的中位数是3,第五轮投中的次数是1
C.五轮投中次数的平均数是3,方差是0.8
D.五轮投中次数的中位数是3,极差是3
4.(2024四川成都期中)现有一组数据不知道其具体个数,只知道该组数据平方后的数据的平均值是a,该组数据扩大到原来的m倍后的数据的平均值是b,则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大到原来的m倍后的数据的方差三个量中,能用a,b,m表示的量的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2023湖南长沙长郡中学月考)已知两组数据:27,28,37,m,40,50;24,n,34,43,48,52.若这两组数据的30%分位数、50%分位数分别对应相等,则等于 .
6.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .
7.一个容量为9的样本,它的平均数为,方差为,把这个样本中一个为4的数据去掉,变成一个容量为8的新样本,则新样本的平均数为 ,方差为 .
题组二 数据的数字特征的应用
8.(2022山东烟台期末)某零件加工厂认定工人通过试用期的方法如下:随机选取试用期中的5天,再从每天生产的零件中分别随机抽取25件,要求每天的合格品均不少于22件.若甲、乙、丙三人在各自5天试用期内抽检样本中的合格品件数统计如下,甲:中位数为24,极差不超过2;乙:平均数为23,方差不超过1;丙:众数为23,方差不超过1,则他们三人中一定能通过试用期的有( )
A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.甲、乙、丙
9.(2023湖北荆州沙市中学)在某病毒流行期间,为了让居民能及时了解病毒是否被控制,专家组通过会商一致认为:病毒被控制的标志是“连续7天每天新增感染人数不超过5”.记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇,根据最新的连续四个预报簇依次计算得到如下结果:①平均数≤3;②平均数≤3,且标准差s≤2;③平均数≤3,且极差m≤2;④众数等于1,且极差m≤4.其中能够说明病毒被控制住的预报簇为 .(填序号)
答案与分层梯度式解析
5.1.2 数据的数字特征
基础过关练
1.C 2.D 3.C 4.B 6.B 7.C 8.B 9.C
10.ABC 11.AC 14.B
1.C 将数据从小到大排序,依次为7,8,9,9,9,10,10,11,12,12,
所以它们的平均数a=×(7+8+9+9+9+10+10+11+12+12)=9.7,中位数b==9.5,众数c=9,所以a>b>c.
2.D 将数据从小到大排列为85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,而10×80%=8,
所以这组数据的80%分位数为=93.5.
3.C 设被污染的数据为x,因为该组数据的最小值为20,所以中位数为53-20=33,所以=33,解得x=32,则被污染的数据为32.故选C.
4.B 因为数据x1,x2,…,x12的平均数为10,所以x1+x2+…+x12=12×10=120,所以新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为(x1+1+x2+1+…+x12+1+24)=×(120+12+24)=12.
5.解析 (1)平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+50 000+55 000)≈10 879(元),
中位数是4 500元,众数是4 500元.
(2)新的平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+100 000+200 000)≈16 788(元),
中位数是4 500元,众数是4 500元.
(3)中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平.该公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大,导致平均数与中位数、众数偏差较大,所以平均数不能反映该公司职工的工资水平.
6.B 去掉一个最高分95与一个最低分89后,所剩的5个数据分别为90,90,93,94,93,其平均数为×(90+90+93+94+93)=92,方差为×[2×(90-92)2+2×(93-92)2+(94-92)2]=2.8,故选B.
7.C 平均成绩和标准差不能反映最高成绩,故A错误;
极差是一组数的最大值减去最小值所得的差,而小张和小陈具体的测试成绩未知,所以无法判断极差的大小,故B错误;
标准差反映数据的波动程度,而3.5<6.3,说明小陈的成绩更稳定,小张的成绩波动比较大,故C正确;
小张的平均成绩高于小陈的平均成绩,所以平均来说小张比小陈数学成绩更好,故D错误.
8.B 设开始10名同学的命中次数分别为x1,x2,…,x9,x10,
则有=6,得x1+x2+…+x9+x10=60,
则新样本的平均数为=6,记为,
则新样本的方差s2=+…++…+.
9.C 由题意得该组数据的极差为10-1=9,中位数为,众数为2,∴1+,∴x=4.
∴该组数据的平均数为=×(1+2+2+4+5+10)=4,
方差s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,
∴该组数据的标准差为3.故选C.
10.ABC 根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度,故A正确;
根据平均数及方差的计算公式可得,将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变,故B正确;
由一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],可知该样本的平均数为3,故这组数据的总和等于60,故C正确;
数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为4s2,故D错误.故选ABC.
11.AC 对于A,当这5个点数都为3时,满足题意,且众数为3,故A正确;
对于B,若中位数为2,则方差最小时该组数据为2,2,2,4,5,方差为1.6,大于1,不符合题意,故B错误;
对于C,当5个点数分别为2,3,3,3,4时,满足题意,且极差为2,故C正确;
对于D,若最大点数为5,则方差最小时该组数据为2,2,3,3,5,方差为1.2,大于1,不符合题意,故D错误.
12.答案
解析 设班级人数为n(n>0,n∈N*),因为118+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不变,
又(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549,(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973,
所以.
13.答案 4
解析 由题意得,m+n+5+6+4=25,即m+n=10.根据方差公式得(m-5)2+(n-5)2=8.设m=5+t,n=5-t,则2t2=8,解得t=±2,∴|m-n|=2|t|=4.
14.B 对于A,甲种水稻产量的平均数为=2 900(kg),
乙种水稻产量的平均数为=2 900(kg),
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等,故A不正确;
对于B,甲种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 860,2 890,2 890,2 950,2 960,中位数为2 890,
乙种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 900,2 900,2 910,2 920,2 920,中位数为=2 905,
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小,故B正确;
对于C,甲种水稻产量的极差为2 960-2 850=110,乙种水稻产量的极差为2 920-2 850=70,
所以甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等,故C不正确;
对于D,甲种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 860-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 950-2 900)2+(2 960-2 900)2]=,
乙种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 910-2 900)2+(2 920-2 900)2+(2 920-2 900)2]=,
所以乙种水稻产量的方差小于甲种水稻产量的方差,所以乙种水稻的产量比甲种水稻的产量稳定,故D不正确.故选B.
15.解析 答案不唯一.
(1)从成绩的众数看,甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,所以甲组成绩好些.
(2)从成绩的方差看,×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172,
×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256.
因为,所以甲组成绩比乙组成绩稳定.
(3)从不低于平均分的人数看,甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,所以甲组成绩总体较好.
(4)从题中成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20,乙组成绩大于或等于90分的人数为24,所以乙组成绩在高分段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多6人,所以乙组成绩较好.
能力提升练
1.BCD 中位数为=8.4,A错误;
极差为10-7=3,B正确;
因为12×75%=9,所以75%分位数为=9.15,C正确;
这位选手的平均分为
=8.5,
去掉最高分和最低分后的平均分为
=8.5,
故去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分,D正确.故选BCD.
2.B 该组数据共7个数,7×0.6=4.2,故60%分位数为从小到大第5个数x,又众数为4,故x=4×=7,故该组数据的平均数为×(1+4+4+4+7+7+8)=5,
故该组数据的方差是.
3.BCD 2+3+4+4=13.若平均数为3,则第五轮投中的次数为3×5-13=2,所以极差为4-2=2,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,故A错误,C正确;若中位数为3,则第五轮投中的次数可能为0,1,2,3,其极差分别为4,3,2,2,故B,D正确.
4.C 设该组数据为x1,x2,…,xn,则平均值,
所以a=,
所以.
原数据的方差,可以用a,b,m表示.
扩大到原来的m倍后的数据的方差
=m2·
=m2=m2a-b2,可以用a,b,m表示.
平方后的数据的方差
-a2,不能用a,b,m表示.
5.答案
解析 因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以第一组数据的30%分位数为28,50%分位数为,第二组数据的30%分位数为n,50%分位数为.
所以.
6.答案 1,1,3,3
解析 不妨设x1≤x2≤x3≤x4,则x1,x2,x3,x4均为正整数,且
∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1,x2=x3=2,x4=3或x1=x2=1,x3=x4=3.
∵标准差为1,
∴=1,
∴x1=x2=1,x3=x4=3.
由此可得这组数据为1,1,3,3.
7.答案 5;2
解析 设9个样本数据分别为x1,x2,…,x9,则,所以新样本的平均数为×-4=5.因为=
=17,所以新样本的方差为(xi-5)2-(4-5)2=×(17-1)=2.
8.A 由甲的统计数据可知,甲至少有3天的合格品件数不小于24,且最小的合格品件数不小于22,所以甲一定能通过.
设乙的抽检样本中每天的合格品件数为ai(i=1,2,3,4,5),
ai∈N,则≤1,即≤5,若乙有不止一天的合格品件数小于22,则>5,不合题意;若乙只有一天的合格品件数小于22,不妨取a1=21,则=4,由平均数为23,可知有一天的合格品件数为25或至少有两天的合格品件数为24,无论哪种情况,都可以得到>5,不合题意,所以乙每一天的合格品件数都不小于22,故乙一定能通过.
对于丙,若丙5天的合格品件数分别为21,22,23,23,23,则众数为23,方差为0.64,符合丙的统计数据,但丙不能通过试用期.故选A.
9.答案 ③④
解析 若连续7天每天记录的数据为0,0,0,0,2,6,6,则满足平均数=2≤3,但不能说明病毒被控制住,故①不符合;
若连续7天每天记录的数据为0,3,3,3,3,3,6,则满足平均数≤3且标准差s=≤2,但不能说明病毒被控制住,故②不符合;
假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m>6-,由≤3得6-≥3,即m>3,故假设不成立,故③符合;
假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m≥6-1=5,故假设不成立,故④符合.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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