2025人教B版高中数学必修第二册
4.4 幂函数
基础过关练
题组一 幂函数的概念
1.已知函数①y=,其中为幂函数的是( )
A.①②④⑤ B.③④⑥
C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
2.(2022广东清远华侨中学期中)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)xα的图象过点,则k-α= ( )
A.或-
C.-或-
题组二 幂函数的图象及其应用
3.已知幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示,α分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为( )
A.2,1,,-1
B.2,-1,1,
C.,1,2,-1
D.-1,1,2,
4.(多选题)(2024河北唐山期中)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为( )
A. C.3 D.9
5.(2022陕西西安交通大学附属中学期中)函数y=ax与y=xa的图象如图所示,则实数a的值可能是( )
A. D.3
题组三 幂函数的性质及其应用
6.(2024湖南常德期中)函数f(x)=(-x2+2x+3的单调递减区间为( )
A.[-1,1] B.(-∞,1] C.(-1,1] D.(1,3)
7.(2024重庆西南大学附中期中)已知a=,则( )
A.a
③y=x3;④y=x-2.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:a.偶函数;b.值域是{y|y∈R且y≠0};c.在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个是正确的,一个是错误的,则他研究的函数是 .(填序号)
9.(2024湖北宜昌期中)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x-1)
能力提升练
题组一 幂函数的图象及其应用
1.(2022安徽六安霍邱一中开学考试)已知函数y=ax-3-(a>0且a≠1)的图象恒过点P.若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是( )
A B C D
2.已知点(n,8)在幂函数f(x)=(m-2)xm的图象上,则g(x)=的值域为( )
A.[0,1] B.[-2,0] C.[-1,2] D.[-2,1]
3.(多选题)(2024江西赣州期中)已知函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x1>x2>0,则f
4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)定义h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间.
题组二 幂函数的性质及其应用
5.(2024江苏南京期中)已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数,若函数y=f(x)-4(a-1)x在区间(2,4)上单调,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2] B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[2,3] D.(-1,2]∪[3,+∞)
6.(2024浙江温州期中)已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
7.(2024重庆十八中期中)写出一个同时具有下面三个性质的幂函数: .
(1)偶函数;(2)值域是{y|y>0};(3)在(-∞,0)上是增函数.
8.(2022浙江舟山普陀中学期中)已知幂函数f(x)=(2m2-2m-3)xm.
(1)若f(x)的定义域为R,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)为奇函数, x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4 幂函数
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.B 6.C 7.C
1.C 幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数.
①是α=-1的情形;②是α=2的情形;③不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数;⑤中x2的系数是2,不是幂函数;⑥是α=-的情形.所以只有①②⑥是幂函数.故选C.
易错警示 幂函数的解析式y=xα中,α为常数,xα的系数为1.
2.B 由题意得k2+k-1=1,解得k=1或k=-2.
因为f(x)的图象过点,所以,解得α=.所以k-α=或k-α=-.
3.A 幂函数y=xα在区间(0,1)上的图象符合“指大图低”的规律,所以在区间(0,1)上,从上至下的曲线对应的幂函数的指数依次为-1,,1,2,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为2,1,,-1.故选A.
4.BC 设f(x)=xa,
由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,由f(-1)=(-1)a=-1,得a为正奇数或分子,分母均为奇数的分数,则f(x)的解析式可能为f(x)=x,满足f(0)=0,此时f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,满足f(0)=0,此时f(3)=;
若f(x)的图象经过B,C,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,此时点C不在f(x)的图象上,即f(x)的图象不能同时经过B,C,D三点.
故选BC.
5.B 观察题图可知,图象①对应指数函数y=ax,图象②对应幂函数y=xa,
由图象①知函数y=ax单调递减,所以0
故选B.
6.C 由-x2+2x+3>0,得x2-2x-3<0,即(x+1)(x-3)<0,解得-1
所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1].
7.C 由y=(x>0)单调递增,可知c==a,
由y=x15(x>0)单调递增,b15=()15=310=(35)2=2432,可得b
解析 函数y=x-1为奇函数,值域是{y|y∈R且y≠0},在(-∞,0)上是减函数,故①不符合;
函数y=为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故②不符合;
函数y=x3为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故③不符合;
函数y=x-2为偶函数,值域是(0,+∞),在(-∞,0)上是增函数,故④符合.
9.解析 (1)由f(x)为幂函数得m2-2m+2=1,所以m=1,
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以5k-2k2>0,解得0
当k=2时, f(x)=x2为偶函数,满足题意,
所以f(x)=x2.
(2)因为函数f(x)为偶函数,
所以f(2x-1)
所以|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,解得-1
(3)因为a>0,b>0且a+b=4m=4,
所以(a+1)+(b+1)=6,即=1,
所以,
当且仅当,且a+b=4,即a=1,b=3时取等号,
所以.
能力提升练
1.A 2.D 3.BCD 5.B 6.A
1.A 令x-3=0,得x=3,∴y=a0-.
设f(x)=xα(α为常数),∵点P在幂函数f(x)的图象上,∴f(3)=3α=,解得α=-1,∴f(x)=x-1,故选A.
2.D ∵f(x)是幂函数,∴m-2=1,解得m=3,
∴f(x)=x3,将(n,8)代入,得n3=8,解得n=2,
∴g(x)=,
则解得2≤x≤3,
故函数g(x)的定义域是[2,3],
易知函数g(x)在[2,3]上单调递减,g(2)=1,g(3)=-2,故函数g(x)的值域是[-2,1],
故选D.
3.BCD 因为函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),
所以9α=3,解得α=,则f(x)=,定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,易知f(x)为增函数,所以当x>1时, f(x)>1,作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图象知A(x2, f(x2)),B(x1, f(x1)),C, f,
所以当x1>x2>0时, f,
故选BCD.
4.解析 (1)设f(x)=xα,
因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,
所以()α=2,解得α=2,即f(x)=x2.
设g(x)=xβ,
因为点在幂函数g(x)的图象上,
所以2β=,解得β=-1,即g(x)=x-1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).
由题意及图象可知h(x)=根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞).
5.B 因为函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为幂函数,所以-2m2+m+2=1,解得m=1或m=-.
当m=1时, f(x)=x2为偶函数,符合题意;
当m=-时, f(x)=为非奇非偶函数,不符合题意.所以 f(x)=x2,所以y=x2-4(a-1)x,其图象的对称轴为直线x=2(a-1).
①若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递增,则2(a-1)≤2,解得a≤2;
②若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递减,则2(a-1)≥4,解得a≥3.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞).
6.A 因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=-2或m=3,
又因为对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
所以函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-6>0,
所以m=3,则f(x)=x3,显然f(x)为奇函数,
由a+b>0得a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0.
7.答案 y=x-2(答案不唯一)
解析 函数y=f(x)=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
因为y=x-2=>0,所以函数y=x-2的值域是{y|y>0}.
易知函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,
所以y=x-2是同时具有给定三个性质的一个幂函数.(答案不唯一)
8.解析 (1)因为f(x)=(2m2-2m-3)xm是幂函数,
所以2m2-2m-3=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时, f(x)=x2,其定义域为R,符合题意;
当m=-1时, f(x)=x-1=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不符合题意.所以f(x)=x2.
(2)由(1)可知f(x)为奇函数时, f(x)=x-1=,
x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,即 x∈[1,2],使>3x+k-1成立,
所以 x∈[1,2],使k-1<-3x成立,
令h(x)=-3x,x∈[1,2],则k-1
所以(x2-x1)>0,即h(x1)>h(x2),
所以h(x)=-3x在[1,2]上是减函数,
所以h(x)max=h(1)=1-3=-2,
所以k-1<-2,解得k<-1,
所以实数k的取值范围是(-∞,-1).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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