2025人教B版高中数学必修第二册
专题强化练4 古典概型
1.(2024重庆北碚期中)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有4,5,6,7四个数字,这些小球除数字外都相同.小红、小明两人玩“猜数字”游戏,小红先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由小明猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m-n|≤1,那么就称小红、小明两人“心心相印”,则两人“心心相印”的概率是( )
A.
2.(2022安徽淮北一中月考)皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,他在1636年提出:若p是质数,且整数a与p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒为1.后来人们称之为费马小定理.依此定理,若在数集{2,3,4}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A.
3.(2022广东广州大学附属中学期末)饕餮纹,青铜器上常见的花纹之一,最早出现在距今五千年前长江中下游地区的良渚文化玉器上,如图1所示.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图2所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为 ( )
图1 图2
A.
4.(2022湖北云学新高考联盟联考)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取两次,每次抽取1张,则抽到的两张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.
5.(2024浙江温州中学期中)有5张未刮码的卡片,其中n张是“中奖卡”,其他的是“未中奖卡”,现从这5张卡片中随机抽取2张.你有资金100元,每次在对一张卡片刮码前,下注已有资金的一半.若刮码结果为中奖,则赢得两倍的下注资金,若刮码结果是未中奖,则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后,要使资金增加的概率大于资金减少的概率,则n至少为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2022北京陈经纶中学开学考试)抛掷红、黄两枚骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是 .
7.已知关于x的函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},从集合P中随机取一个数,记为a,从集合Q中随机取一个数,记为b.
(1)列举出所有的数对(a,b),并求函数f(x)有零点的概率;
(2)求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4 古典概型
1.D 2.C 3.B 4.C 5.C
1.D 用(m,n)表示样本点,易得样本空间包含的样本点的个数为16,若m,n满足|m-n|≤1,则当m=4时,n=4,5,当m=5时,n=4,5,6,当m=6时,n=5,6,7,当m=7时,n=6,7,则小红、小明两人“心心相印”事件包含了10个样本点,故两人“心心相印”的概率是.
2.C 在数集{2,3,4}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则样本空间包含的样本点有(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6个,其中所取两个数符合费马小定理的有(2,3),(3,2),(3,4),共3个,故所取两个数符合费马小定理的概率为.
3.B 点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,3次跳动的所有可能情况为(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(右,下,下),(下,右,右),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),沿着饕餮纹的路线到达点B的情况为(下,下,右),故所求概率P=.
4.C 9张卡片中共有5张奇数卡片,4张偶数卡片,从中不放回地随机抽取两次的试验共包含72个样本点,其中事件“抽到的两张卡片上的数奇偶性不同”包含40个样本点,故抽到的两张卡片上的数奇偶性不同的概率是.
故选C.
5.C 刮第1张卡片前,下注50元:
若未中奖,则还剩50元.刮第2张卡片前,下注25元,不管是否中奖,资金必减少;
若中奖,则还剩150元.刮第2张卡片前,下注75元,若第2张卡未中奖,则资金减少,若中奖,资金增加.
所以要使资金增加,必须2次均刮出中奖,
所以5张卡片中取到2张“中奖卡”的概率大于即可,
由5张卡片中任取2张的方法有10种,n张“中奖卡”中取到2张的方法有(2≤n≤5,n∈N*)种,
所以,即n(n-1)>10且2≤n≤5,n∈N*,故n=4或5,故要想满足题意,n至少为4.
6.答案
解析 用(a,b)表示结果,其中第一个数字代表红色骰子的点数,第二个数字代表黄色骰子的点数.当红色骰子的点数为4或6时,有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种情况,
其中两枚骰子的点数之积大于20的有(4,6),(6,4),(6,5),(6,6),共4种情况,
故所求概率P=.
7.解析 (1)数对(a,b)可能为(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15个.
函数f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,则满足条件的数对(a,b)有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.
所以函数f(x)有零点的概率P=.
(2)易知a>0,函数f(x)图象的对称轴为直线x=,因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,所以≤1.满足条件的数对(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13个,所以函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率P=.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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